【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)O在AC上,以OA為半徑的⊙O交AB于點(diǎn)D,BD的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)F,連接DE.
(1)求證:直線DE是⊙O的切線;
(2)若AB=5,BC=4,OA=1,求線段DE的長(zhǎng).
【答案】(1)詳見解析;(2)線段DE的長(zhǎng)為.
【解析】
(1)連接OD,如圖,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得ED=EB,則∠EDB=∠B,再利用等量代換計(jì)算出∠ODE=90°,則OD⊥DE,然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論;
(2)作OH⊥AD于H,則AH=DH,利用∠A的正弦可計(jì)算出OH=,則AH=,AD=2AH=,所以BF=,然后利用∠B的余弦計(jì)算出EB,從而得到ED的長(zhǎng).
(1)連接OD,如圖,
∵EF垂直平分BD,
∴ED=EB,
∴∠EDB=∠B,
∵OA=OD,
∴∠A=∠ODA,
∵∠A+∠B=90°,
∴∠ODA+∠EDB=90°,
∴∠ODE=90°,
∴OD⊥DE,
∴直線DE是⊙O的切線;
(2)作OH⊥AD于H,如圖,則AH=DH,
在Rt△OAB中,sinA==,
在Rt△OAH中,sinA==,
∴OH=,
∴AH==,
∴AD=2AH=,
∴BD=5﹣=,
∴BF=BD=,
在Rt△ABC中,cosB=,
在Rt△BEF中,cosB==,
∴BE=×=,
∴線段DE的長(zhǎng)為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】長(zhǎng)豐草蒜是安徽省特色水果,安徽省的特產(chǎn)之一,其產(chǎn)地長(zhǎng)豐縣是國(guó)家無(wú)公害草莓生產(chǎn)示范基地.小李從長(zhǎng)豐通過(guò)某快遞公司給在北京的姥姥寄一盒草莓,快遞時(shí),他了解到這個(gè)公司除收取每次8元的包裝費(fèi)外,草莓不超過(guò)1千克收費(fèi)22元,超過(guò)1千克,則超出部分按每千克10元加收費(fèi)用.設(shè)該公司從長(zhǎng)豐到北京快寄草莓的費(fèi)用為y(元),所寄草莓為x(千克)
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)已知小李給姥嬈快寄了2.5千克草毒,請(qǐng)你求出這次快寄的費(fèi)用是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從安陸到武漢市,可乘坐普通列車或高鐵,已知高鐵的行駛路程是100千米,普通列車的行駛路程是高鐵的行駛路程的1.3倍.
(1)求普通列車的行駛路程;
(2)設(shè)計(jì)高鐵的平均速度(千米/時(shí))是普通列車平均速度(千米/時(shí))的2.5倍,且乘坐高鐵所需時(shí)間比乘坐普通列車所需時(shí)間縮短45分鐘,求高鐵的平均速度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿運(yùn)動(dòng),點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度始終為,以點(diǎn)為圓心,線段長(zhǎng)為半徑作圓,設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,當(dāng)與有個(gè)交點(diǎn)時(shí),此時(shí)的值不可能是( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,函數(shù)和(是常數(shù),且)在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象可能是( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、B、C在x軸上,點(diǎn)D、E在y軸上,OA=OD=2,OC=OE=4,B為線段OA的中點(diǎn),直線AD與經(jīng)過(guò)B、E、C三點(diǎn)的拋物線交于F、G兩點(diǎn),與其對(duì)稱軸交于M,點(diǎn)P為線段FG上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與F、G不重合),PQ∥y軸與拋物線交于點(diǎn)Q.
(1)求經(jīng)過(guò)B、E、C三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(2)判斷△BDC的形狀,并給出證明;當(dāng)P在什么位置時(shí),以P、O、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)若拋物線的頂點(diǎn)為N,連接QN,探究四邊形PMNQ的形狀:①能否成為菱形;②能否成為等腰梯形?若能,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=6.
(1)實(shí)踐操作:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡.
①作∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)D.
②作線段BD的垂直平分線,交AB于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接DE、DF.
(2)推理計(jì)算:四邊形BFDE的面積為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】模型建立:
(1)如圖1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直線ED經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,過(guò)A作AD⊥ED于D,過(guò)B作BE⊥ED于E.
求證:△BEC≌△CDA.
模型應(yīng)用:
(2)已知直線l1:y=x+4與y軸交與A點(diǎn),將直線l1繞著A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至l2,如圖2,求l2的函數(shù)解析式.
(3)如圖3,矩形ABCO,O為坐標(biāo)原點(diǎn),B的坐標(biāo)為(8,6),A、C分別在坐標(biāo)軸上,P是線段BC上動(dòng)點(diǎn),設(shè)PC=m,已知點(diǎn)D在第一象限,且是直線y=2x-6上的一點(diǎn),若△APD是不以A為直角頂點(diǎn)的等腰Rt△,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A(1,3),與x軸的一個(gè)交點(diǎn)B(4,0),直線y2=mx+n(m≠0)與拋物線交于A,B兩點(diǎn),下列結(jié)論:
①2a+b=0;②abc>0;③方程ax2+bx+c=3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;④拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是(﹣1,0);⑤當(dāng)1<x<4時(shí),有y2<y1,
其中正確的是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ②④⑤
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