【題目】模型建立:

(1)如圖1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°CB=CA,直線ED經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,過(guò)AADEDD,過(guò)BBEEDE

求證:△BEC≌△CDA

模型應(yīng)用:

(2)已知直線l1y=x+4y軸交與A點(diǎn),將直線l1繞著A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°l2,如圖2,求l2的函數(shù)解析式.

(3)如圖3,矩形ABCOO為坐標(biāo)原點(diǎn),B的坐標(biāo)為(8,6),AC分別在坐標(biāo)軸上,P是線段BC上動(dòng)點(diǎn),設(shè)PC=m,已知點(diǎn)D在第一象限,且是直線y=2x-6上的一點(diǎn),若△APD是不以A為直角頂點(diǎn)的等腰Rt△,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)y=x+4;(3)(42),(,),(,)

【解析】

1)先根據(jù)ABC為等腰直角三角形得出CB=CA,再由AAS定理可知ACD≌△CBE;

2)過(guò)點(diǎn)BBCAB于點(diǎn)B,交l2于點(diǎn)C,過(guò)CCDx軸于D,根據(jù)∠BAC=45°可知ABC為等腰Rt,由(1)可知CBD≌△BAO,由全等三角形的性質(zhì)得出C點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出直線l2的函數(shù)解析式即可;

3)當(dāng)點(diǎn)D為直角頂點(diǎn),分點(diǎn)D在矩形AOCB的內(nèi)部與外部?jī)煞N情況;點(diǎn)P為直角頂點(diǎn),顯然此時(shí)點(diǎn)D位于矩形AOCB的外部,由此可得出結(jié)論.

(1)∵△ABC為等腰直角三角形,

CB=CA,

又∵ADCDBEEC,

∴∠D=E=90°,∠ACD+BCE=180°-90°=90°,

又∵∠EBC+BCE=90°

∴∠ACD=EBC,

ACDCBE中,

,

∴△ACD≌△EBC(AAS)

(2)過(guò)點(diǎn)BBCAB于點(diǎn)B,交l2于點(diǎn)C,過(guò)CCDx軸于D

如圖1,

∵∠BAC=45°

∴△ABC為等腰Rt,

(1)可知:CBD≌△BAO

BD=AO,CD=OB

∵直線l1y=x+4,

A(0,4),B(-30),

BD=AO=4CD=OB=3

OD=4+3=7,

C(-73),

設(shè)l2的解析式為y=kx+b(k≠0),

,

l2的解析式:y=x+4;

(3)當(dāng)點(diǎn)D位于直線y=2x-6上時(shí),分兩種情況:

①點(diǎn)D為直角頂點(diǎn),分兩種情況:

當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的內(nèi)部時(shí),過(guò)Dx軸的平行線EF,交直線OAE,交直線BCF,設(shè)D(x2x-6);

OE=2x-6,AE=6-(2x-6)=12-2xDF=EF-DE=8-x;

ADE≌△DPF,得DF=AE,即:

12-2x=8-x,x=4;

D(4,2);

當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的外部時(shí),設(shè)D(x,2x-6);

OE=2x-6,AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12,DF=EF-DE=8-x

1可知:ADE≌△DPF,

AE=DF,即:2x-12=8-x,x=;

D();

②點(diǎn)P為直角頂點(diǎn),顯然此時(shí)點(diǎn)D位于矩形AOCB的外部;

設(shè)點(diǎn)D(x,2x-6),則CF=2x-6BF=2x-6-6=2x-12;

(1)可得,APB≌△PDF,

AB=PF=8,PB=DF=x-8

BF=PF-PB=8-(x-8)=16-x;

聯(lián)立兩個(gè)表示BF的式子可得:

2x-12=16-x,即x=;

D(,)

綜合上面六種情況可得:存在符合條件的等腰直角三角形;

D點(diǎn)的坐標(biāo)為:(42),(,)(,)

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2)一個(gè)正整數(shù),N個(gè)數(shù)字組成,若從左向右它的第一位數(shù)能被1整除,它的前兩位數(shù)能被2整除,前三位數(shù)能被3整除,一直到前N位數(shù)能被N整除我們稱這樣的數(shù)為善雅數(shù).例如123的第一位數(shù)1能披1整除,它的前兩位數(shù)12能被2整除前三位數(shù)123能被3整除,123是一個(gè)善雅數(shù).若三位善雅數(shù)m=200+10x+y0≤x≤9,0≤y≤9x、y為整數(shù)),m的各位數(shù)字之和為一個(gè)完全平方數(shù)求出所有符合條件的善雅數(shù)Fm)的最大值

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LED燈泡

普通白熾燈泡

進(jìn)價(jià)(元)

45

25

標(biāo)價(jià)(元)

60

30

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