【題目】如圖,二次函數(shù)y=x2﹣6x+5的圖象交x軸于A、B兩點,交y軸于點C,連接BC.
(1)直接寫出點B、C的坐標(biāo),B ;C .
(2)點P是y軸右側(cè)拋物線上的一點,連接PB、PC.若△PBC的面積15,求點P的坐標(biāo).
(3)設(shè)E為線段BC上一點(不含端點),連接AE,一動點M從點A出發(fā),沿線段AE以每秒一個單位速度運動到E點,再沿線段EC以每秒2個單位的速度運動到C后停止,當(dāng)點E的坐標(biāo)是 時,點M在整個運動中用時最少,最少用時是 秒.
(4)若點Q在y軸上,當(dāng)∠AQB取得最大值時,直接寫出點Q的坐標(biāo) .
【答案】(1)(0,5);(5,0);(2)P點坐標(biāo)為:(2,﹣3 )、(3,﹣4 )、(﹣1,10 )或(6,5 );(3)(4, ),(2+1);(4)(3,).
【解析】
(1)將x=0和y=0分別代入y=x2﹣6x+5,即可求得B、C的坐標(biāo);(2)設(shè)x軸上點D,使得△DBC的面積15,求出BD的長,再求直線BC的解析式,得到D點坐標(biāo)為(﹣1,0)或(11,0),分類討論D坐標(biāo)為(﹣1,0)與(11,0)的情況,根據(jù)過點D平行于BC的直線l與拋物線交點為滿足條件的P求出所有滿足條件的P點的坐標(biāo);(3)由已知,當(dāng)AE最短時,M用時最少,當(dāng)AE⊥BC于點E時,AE最短,根據(jù)三角函數(shù)求得AE與EB的長,進(jìn)而求出E點的坐標(biāo)以及M點運動的最少時間;(4)以AB邊為弦作圓,圓心F在x軸上方,當(dāng)圓半徑越大,x軸上方的點與AB兩點連線夾角越大
當(dāng)圓F與y軸切于點Q時,∠AQB取得最大值,如圖,連FA、FB、FQ,作FH⊥AB于點H,求出QF與FH的長,即可求得點Q坐標(biāo).
解:(1)當(dāng)x=0時,y=5
當(dāng)y=0時, x2﹣6x+5=0
解得
x1=1,x2=5
故答案為:(0,5);(5,0)
(2)設(shè)x軸上點D,使得△DBC的面積15.
∴BDOC=15,
解得BD=6
∵C(0,5);B(5,0)
則可求直線BC解析式為:y=﹣x+5x
故點D坐標(biāo)為(﹣1,0)或(11,0)
當(dāng)D坐標(biāo)為(﹣1,0)時,過點D平行于BC的直線l與拋物線交點為滿足條件的P
則可求得直線l的解析式為:y=﹣x-
求直線l與拋物線交點得:
x2﹣6x+5=﹣x-
解得
x1=2,x2=3
則P點坐標(biāo)為(2,﹣3)或(3,﹣4)
同理當(dāng)點D坐標(biāo)為(11,0)時,直線l的解析式為y=﹣x+11
求直線l與拋物線交點得:
x2﹣6x+5=﹣x+11
解得
x1=﹣1,x2=6
則點P坐標(biāo)為(﹣1,10),(6,5)
綜上滿足條件P點坐標(biāo)為:(2,﹣3)、(3,﹣4)、(﹣1,10)或(6,5)
(3)由已知,當(dāng)AE最短時,M用時最少
則AE⊥BC于點E,由已知,∠ABC=60°,AB=4
∴AE=2,EB=2
∴點E坐標(biāo)為(4,),點M在整個運動中用時最少為(2+1)秒
故答案為:(4,),(2+1)
(4)以AB邊為弦作圓,圓心F在x軸上方,當(dāng)圓半徑越大,x軸上方的點與AB兩點連線夾角越大
當(dāng)圓F與y軸切于點Q時,∠AQB取得最大值.
如圖:連FA、FB、FQ,作FH⊥AB于點H
則可知AH=2
∴QF=OH=3
∴FH==
∴點Q坐標(biāo)為(3,)
故答案為:(3,)
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AP是⊙O的切線,點A為切點,BP與⊙O交于點C,點D是AP的中點,連結(jié)CD.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若AB=2,∠P=30°,求陰影部分的面積.
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【題目】甲、乙兩人用如圖所示的兩個分格均勻的轉(zhuǎn)盤做游戲:分別轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤,若轉(zhuǎn)盤停止后,指針指向一個數(shù)字(若指針恰好停在分格線上,則重轉(zhuǎn)一次),用所指的兩個數(shù)字作乘積,如果積大于10,那么甲獲勝;如果積不大于10,那么乙獲勝.清你解決下列問題:
(l)利用樹狀圖(或列表)的方法表示游戲所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;
(2)求甲、乙兩人獲勝的概率,并說明游戲是否公平.
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【題目】如圖,某數(shù)學(xué)興趣小組要測量一棟五層居民樓CD的高度,該樓底層為車庫,高2.5米;上面五層居住,每層高度相等,測角儀支架離地1.5米,在A處測得五樓頂部點D的仰角為60°,在B處測得四樓頂部點E的仰角為30°,AB=14米,求居民樓的高度.(精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):≈1.73)
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【題目】如圖①,△ABC為等腰直角三角形, △ABD為等邊三角形,連接CD.
(1)求∠ACD的度數(shù);
(2)如圖①,作∠BAC的平分線交CD于點E,求證:DE=AE+CE;
(3)如圖②,在(2)的條件下,M為線段BC右側(cè)一點,滿足∠CMB=60°,求證:ME平分∠CMB.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點A(﹣4,0)、B(0,3),對△AOB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換依次得到三角形(1)、(2)、(3)、(4)、…,則第(5)個三角形的直角頂點的坐標(biāo)是_____,第(2018)個三角形的直角頂點的坐標(biāo)是______.
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【題目】有A、B兩個港口,水由A流向B,水流的速度是4千米/小時,甲、乙兩船同時由A順流駛向B,各自不停地在A、B之間往返航行,甲在靜水中的速度是28千米/小時,乙在靜水中的速度是20千米/小時.
設(shè)甲行駛的時間為t小時,甲船距B港口的距離為S1千米,乙船距B港口的距離為S2千米,如圖為S1(千米)和t(小時)函數(shù)關(guān)系的部分圖象.
(1)A、B兩港口距離是_____千米.
(2)在圖中畫出乙船從出發(fā)到第一次返回A港口這段時間內(nèi),S2(千米)和t(小時)的函數(shù)關(guān)系的圖象.
(3)求甲、乙兩船第二次(不算開始時甲、乙在A處的那一次)相遇點M位于A、B港口的什么位置?
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【題目】已知,等邊三角形ABC的邊長為5,點P在線段AB上,點D在線段BC上,且△PDE是等邊三角形.
(1)初步嘗試:若點P與點A重合時(如圖1),BD+BE= .
(2)類比探究:將點P沿AB方向移動,使AP=1,其余條件不變(如圖2),試計算BD+BE的值是多少?
(3)拓展遷移:如圖3,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=70°,點P在線段AB的延長線上,點D在線段CB的延長線上,在△PDE中,PD=PE,∠DPE=70°,設(shè)BP=a,請直接寫出線段BD、BE之間的數(shù)量關(guān)系(用含a的式子表示)
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A(1,0),B(2,0),正六邊形ABCDEF沿x軸正方向無滑動滾動,每旋轉(zhuǎn)60°為滾動1次,那么當(dāng)正六邊形ABCDEF滾動2017次時,點F的坐標(biāo)是( 。
A. (2017,0) B. (2017, ) C. (2018, ) D. (2018,0)
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