Question

【題目】如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP．

（1）將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連接AP，BQ．猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想；
（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接AP，BQ．你認(rèn)為（1）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；
（3）若AC=BC=4，設(shè)△EFP平移的距離為x，當(dāng)0≤x≤8時(shí)，△EFP與△ABC重疊部分的面積為S，請(qǐng)寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1）BQ=AP，證明見解析；（2）BQ=AP，證明見解析；（3）當(dāng)0≤x＜4時(shí)，S =-x2+4x；當(dāng)4≤x≤8時(shí)，S=（8-x）2；當(dāng)x=時(shí)，S的最大值為．

【解析】

（1）猜想：BQ=AP．

證明：由題意可知EF⊥FP，又EF=FP，

所以∠EPF=45°，

所以QC=CP，又∠BCQ=∠ACP=90°，AC=BC，

所以△BCQ≌△ACP，

∴BQ=AP；

（2）BQ=AP成立．

證明：∵∠EPF=45°，AC⊥CP，

∴CQ=CP，

又∵BC=AC，

∴Rt△BCQ≌Rt△ACP，

∴BQ=AP；

（3）當(dāng)0≤x＜4時(shí)，如圖2中，重疊部分是五邊形MGFCQ，

S=S△BMP-2S△BGF=（8-x）2-2×（4-x）2=-x2+4x，

當(dāng)4≤x≤8時(shí)，如圖3中，重疊部分是△PBG，

S=S△PBG=（8-x）2，

當(dāng)0≤x＜4時(shí)，當(dāng)x=時(shí)，S取最大值為；

當(dāng)4≤x≤8時(shí)，當(dāng)x=4時(shí)，S取最大值為4．

∴當(dāng)x=時(shí)，S的最大值為．