【題目】對于平面直角坐標系中的點,將它的縱坐標與橫坐標的比稱為點的“理想值”,記作.如的“理想值”.
(1)①若點在直線上,則點的“理想值”等于_______;
②如圖,,的半徑為1.若點在上,則點的“理想值”的取值范圍是_______.
(2)點在直線上,的半徑為1,點在上運動時都有,求點的橫坐標的取值范圍;
(3),是以為半徑的上任意一點,當(dāng)時,畫出滿足條件的最大圓,并直接寫出相應(yīng)的半徑的值.(要求畫圖位置準確,但不必尺規(guī)作圖)
【答案】(1)①﹣3;②;(2);(3)
【解析】
(1)①把Q(1,a)代入y=x-4,可求出a值,根據(jù)理想值定義即可得答案;②由理想值越大,點與原點連線與軸夾角越大,可得直線與相切時理想值最大,與x中相切時,理想值最小,即可得答案;(2)根據(jù)題意,討論與軸及直線相切時,LQ 取最小值和最大值,求出點橫坐標即可;(3)根據(jù)題意將點轉(zhuǎn)化為直線,點理想值最大時點在上,分析圖形即可.
(1)①∵點在直線上,
∴,
∴點的“理想值”=-3,
故答案為:﹣3.
②當(dāng)點在與軸切點時,點的“理想值”最小為0.
當(dāng)點縱坐標與橫坐標比值最大時,的“理想值”最大,此時直線與切于點,
設(shè)點Q(x,y),與x軸切于A,與OQ切于Q,
∵C(,1),
∴tan∠COA==,
∴∠COA=30°,
∵OQ、OA是的切線,
∴∠QOA=2∠COA=60°,
∴=tan∠QOA=tan60°=,
∴點的“理想值”為,
故答案為:.
(2)設(shè)直線與軸、軸的交點分別為點,點,
當(dāng)x=0時,y=3,
當(dāng)y=0時,x+3=0,解得:x=,
∴,.
∴,,
∴tan∠OAB=,
∴.
∵,
∴①如圖,作直線.
當(dāng)與軸相切時,LQ=0,相應(yīng)的圓心滿足題意,其橫坐標取到最大值.
作軸于點,
∴,
∴.
∵的半徑為1,
∴.
∴,
∴.
∴.
②如圖
當(dāng)與直線相切時,LQ=,相應(yīng)的圓心滿足題意,其橫坐標取到最小值.
作軸于點,則.
設(shè)直線與直線的交點為.
∵直線中,k=,
∴,
∴,點F與Q重合,
則.
∵的半徑為1,
∴.
∴.
∴,
∴.
∴.
由①②可得,的取值范圍是.
(3)∵M(2,m),
∴M點在直線x=2上,
∵,
∴LQ取最大值時,=,
∴作直線y=x,與x=2交于點N,
當(dāng)M與ON和x軸同時相切時,半徑r最大,
根據(jù)題意作圖如下:M與ON相切于Q,與x軸相切于E,
把x=2代入y=x得:y=4,
∴NE=4,OE=2,ON==6,
∴∠MQN=∠NEO=90°,
又∵∠ONE=∠MNQ,
∴,
∴,即,
解得:r=.
∴最大半徑為.
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【題目】一個盒子中有1個白球和2個紅球,這些球除顏色外都相同.
⑴如果從盒子中隨機摸出1個球,摸出紅色球的概率為_____________;
⑵若從盒子中隨機摸出一個球,記下顏色后放回,再從中隨機摸出一個球,請通過列表或畫樹狀圖的方法,求兩次摸到不同顏色球的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解學(xué)生對“第二十屆中國哈爾濱冰雪大世界”主題景觀的了解情況,在全體學(xué)生中隨機抽取了部分學(xué)生進行調(diào)查,并把調(diào)查結(jié)果繪制成如圖的不完整的兩幅統(tǒng)計圖:
(1)本次調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生;
(2)通過計算補全條形圖;
(3)若該學(xué)校共有名學(xué)生,請你估計該學(xué)校選擇“比較了解”項目的學(xué)生有多少名?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,四邊形ABCD是菱形,點A(0,4),B(﹣3,0)反比例函數(shù)y=(k為常數(shù),k≠0,x>0)的圖象經(jīng)過點D.
(1)填空:k=_____.
(2)已知在y=的圖象上有一點N,y軸上有一點M,且四邊形ABMN是平行四邊形,求點M的坐標.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A(﹣2,﹣2),B(0,3),C(3,3),D(4,﹣2),y是關(guān)于x的二次函數(shù),拋物線y1經(jīng)過點A、B、C,拋物線y2經(jīng)過點B、C、D,拋物線y3經(jīng)過點A、B、D,拋物線y4經(jīng)過點A、C、D.下列判斷:
①四條拋物線的開口方向均向下;
②當(dāng)x<0時,至少有一條拋物線表達式中的y均隨x的增大而減小;
③拋物線y1的頂點在拋物線y2頂點的上方;
④拋物線y4與y軸的交點在點B的上方.
所有正確結(jié)論的序號為_____.
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【題目】如圖,在河對岸有一棵大樹 A,在河岸 B 點測得 A 在北偏東 60°方向上,向東前進 200m 到達 C 點,測得 A 在北偏東 30°方向上,求河的寬度(精確到 0.1m).參考數(shù)據(jù) ≈1.414,≈1.732.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象經(jīng)過點A(1,2).
(1)當(dāng)b=1,c=﹣4時,求該二次函數(shù)的表達式;
(2)已知點M(t﹣1,5),N(t+1,5)在該二次函數(shù)的圖象上,請直接寫出t的取值范圍;
(3)當(dāng)a=1時,若該二次函數(shù)的圖象與直線y=3x﹣1交于點P,Q,將此拋物線在直線PQ下方的部分圖象記為C,
①試判斷此拋物線的頂點是否一定在圖象C上?若是,請證明;若不是,請舉反例;
②已知點P關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為P′,若P′在圖象C上,求b的取值范圍.
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【題目】如圖,將矩形MNPQ放置在矩形ABCD中,使點M,N分別在AB,AD邊上滑動,若MN=6,PN=4,在滑動過程中,點A與點P的距離AP的最大值為( 。
A. 4 B. 2 C. 7 D. 8
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【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,拋物線y=﹣x2﹣x﹣3交x軸于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),交y軸于點C
(1)求直線AC的解析式;
(2)點P是直線AC上方拋物線上的一動點(不與點A,點C重合),過點P作PD⊥x軸交AC于點D,求PD的最大值;
(3)將△BOC沿直線BC平移,點B平移后的對應(yīng)點為點B′,點O平移后的對應(yīng)點為點O′,點C平移后的對應(yīng)點為點C′,點S是坐標平面內(nèi)一點,若以A,C,O′,S為頂點的四邊形是菱形,求出所有符合條件的點S的坐標.
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