【題目】△ABC中,∠ACB=90°,CB=6,AC=8,點(diǎn)D是AC上的一點(diǎn),點(diǎn)E是BD上一點(diǎn).
(1)如圖(1),若點(diǎn)D在AB的垂直平分線上,求CD的長(zhǎng).
(2)如圖(2),連接AE,若AE平分∠BAC,BE平分∠ABC,求點(diǎn)E到AC的距離.
(3)若點(diǎn)E到三角形兩邊的距離為1.5,求CD的長(zhǎng).(直接寫出答案)
【答案】(1)(2)2(3)3或2或
【解析】
(1)由垂直平分線的性質(zhì)可得BD=AD,AE=BE=5,設(shè)CD長(zhǎng)為x,在中,由勾股定理列出方程即可解出CD的長(zhǎng);
(2)過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F,EM⊥AB于點(diǎn)M,EN⊥BC于點(diǎn)N,由角平分線的性質(zhì)可得EF=EM=EN,AE、BE、CE將分割成三個(gè)三角形,利用面積關(guān)系= 可求出EF的長(zhǎng)即為所求;
(3)根據(jù)題意可分三種情況討論:①當(dāng)點(diǎn)E到AB和BC的距離為1.5時(shí),過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F,設(shè)CD為x,在中利用勾股定理可列出方程,求出x;②當(dāng)點(diǎn)E到CB和CA的距離為1.5時(shí),過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AC于點(diǎn)M,EN⊥BC于點(diǎn)N,易知四邊形CMEN為正方形,可得CM=1.5,由EM∥BC,可得,進(jìn)而得到,代入數(shù)據(jù)即可求出CD;③當(dāng)點(diǎn)E到AB和AC的距離為1.5時(shí),過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M,EN⊥AC于點(diǎn)N,EF⊥BC于點(diǎn)F,易知四邊形CNEF為矩形,根據(jù)面積關(guān)系= 可求EF的長(zhǎng)度即為CN的長(zhǎng)度,由EN∥BC,可得進(jìn)而可得,代入數(shù)據(jù)即可求出CD的長(zhǎng)度.
(1)如圖所示,設(shè)AB的垂直平分線為DE,垂足為E,
∵∠ACB=90°,CB=6,AC=8,
∴AB==10,
∵DE垂直平分AB,
∴BD=AD,AE=BE=AB=5,
設(shè)CD=x,則AD=BD=8-x,在中,由勾股定理可得:
,
解得:,
∴點(diǎn)D在AB的垂直平分線上時(shí),CD= ;
(2)如圖所示,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F,EM⊥AB于點(diǎn)M,EN⊥BC于點(diǎn)N,連接CE,
∵AE平分∠BAC,EF⊥AC,EM⊥AB,
∴EF=EM,
∵BE平分∠ABC,EM⊥AB,EN⊥BC,
∴EM=EN,
∴EF=EM=EN,
設(shè)EF=EM=EN=x,則:
=
即:×AC×BC= ×AC×EF+ ×AB×EM+ ×BC×EN,
6×8=8x+10x+6x,
解得:x=2,
∴點(diǎn)E到AC的距離為2;
(3)根據(jù)題意可分三種情況:
①如圖所示,當(dāng)點(diǎn)E到AB和BC的距離為1.5時(shí),此時(shí)點(diǎn)E在∠CBA的角平分線上,即BD平分∠CBA,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F,
∵BD平分∠CBA,DF⊥AB,DC⊥BC,
∴CD=DF,
又∵∠C=∠DFB=90°,BD=BD,
∴(HL),
∴BF=BC=6,
∴AF=4,
設(shè)CD=x,則DF=x,AD=8-x,在中,由勾股定理可得:
,
解得:x=3,
∴當(dāng)點(diǎn)E到AB和BC的距離為1.5時(shí),CD=3;
②如圖所示,當(dāng)點(diǎn)E到CB和CA的距離為1.5時(shí),此時(shí)點(diǎn)E在∠BCA的角平分線上,即CE平分∠BCA,過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AC于點(diǎn)M,EN⊥BC于點(diǎn)N,此時(shí)EM=EN=1.5,EM∥BC,
∵∠NCM=90°, EM⊥AC,EN⊥BC,
∴四邊形CMEN為矩形,
∵EM=EN
∴矩形CMEN為正方形,
∴CM=1.5,
設(shè)CD=x,則DM=x-1.5,
∵EM∥BC,
∴
∴,
即: ,
解得:x=2,
∴當(dāng)點(diǎn)E到CB和CA的距離為1.5時(shí),CD=2;
③如圖所示,當(dāng)點(diǎn)E到AB和AC的距離為1.5時(shí),此時(shí)點(diǎn)E在∠BAC的角平分線上,即AE平分∠BAC,過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M,EN⊥AC于點(diǎn)N,EF⊥BC于點(diǎn)F,此時(shí)EM=EN=1.5,四邊形CNEF為矩形,
∵= ,
∴×AC×BC= ×AC×EN+ ×AB×EM+ ×BC×EF,
即6×8=8×1.5+10×1.5+6×EF,
解得:EF=,
∵四邊形CNEF為矩形,
∴CN= EF=,
設(shè)CD=x,則DN=x-,
∵EN∥BC,
∴
∴,
即: ,
解得:x=,
∴當(dāng)點(diǎn)E到AB和AC的距離為1.5時(shí),CD= .
綜上所述,若點(diǎn)E到三角形兩邊的距離為1.5,CD的長(zhǎng)為3或2或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD、BE=CF.
(1)求證:AD平分∠BAC;
(2)直接寫出AB+AC與AE之間的等量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了備戰(zhàn)初三物理、化學(xué)實(shí)驗(yàn)操作考試,某校對(duì)初三學(xué)生進(jìn)行了模擬訓(xùn)練.物理、化學(xué)各有3個(gè)不同的操作實(shí)驗(yàn)題目,物理用番號(hào)①、②、③代表,化學(xué)用字母a、b、c表示.測(cè)試時(shí)每名學(xué)生每科只操作一個(gè)實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)的題目由學(xué)生抽簽確定.
(1)小張同學(xué)對(duì)物理的①、②和化學(xué)的b、c實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備得較好.請(qǐng)用樹形圖或列表法求他兩科都抽到準(zhǔn)備得較好的實(shí)驗(yàn)題目的概率;
(2)小明同學(xué)對(duì)物理的①、②、③和化學(xué)的a實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備得較好.他兩科都抽到準(zhǔn)備得較好的實(shí)驗(yàn)題目的概率為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐標(biāo)系中,A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(3,0)和(0,3 ).動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開(kāi)始沿折線AO﹣OB﹣BA運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P在AO,OB,BA上運(yùn)動(dòng),速度分別為1,,2(長(zhǎng)度單位/秒)﹒一直尺的上邊緣l從x軸的位置開(kāi)始以(長(zhǎng)度單位/秒)的速度向上平行移動(dòng)(即移動(dòng)過(guò)程中保持l∥x軸),且分別與OB,AB交于E,F(xiàn)兩點(diǎn)﹒設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線l同時(shí)出發(fā),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)點(diǎn)P沿折線AO﹣OB﹣BA運(yùn)動(dòng)一周時(shí),直線l和動(dòng)點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).
請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
(1)過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線解析式是 ,∠BAO= ;
(2)當(dāng)t﹦4時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ;當(dāng)t﹦ ,點(diǎn)P與點(diǎn)E重合;
(3)作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)P′.在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,若形成的四邊形PEP′F為菱形,則t的值是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在△ABC中,AB=BC=12cm,∠ABC=90°,點(diǎn)E以每秒1cm/s的速度由A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),ED⊥AC于點(diǎn)D,點(diǎn)M為EC的中點(diǎn).
(1)求證:△BMD為等腰直角三角形.
(2)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)3秒時(shí),求△BMD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)和的圖象分別為直線,,過(guò)點(diǎn)(1,0)作軸的垂線交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn),…依次進(jìn)行下去,則點(diǎn)的坐標(biāo)為_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是由27個(gè)相同的小立方塊搭成的幾何體,它的三個(gè)視圖是3×3的正方形,若拿掉若干個(gè)小立方塊(幾何體不倒掉),其三個(gè)視圖仍都為3×3的正方形,則最多能拿掉小立方塊的個(gè)數(shù)為( 。
A. 10 B. 12 C. 15 D. 18
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,延長(zhǎng)BC至D使CD=BC,連接AD,且AD=4,點(diǎn)P為線段AC上一動(dòng)點(diǎn),連接BP.則2BP+AP的最小值為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)E到△ABC三邊的距離相等,過(guò)點(diǎn)E作MN∥BC交AB于M,交AC于N.若BM+CN=2019,則線段NM的長(zhǎng)為( )
A.2017B.2018C.2019D.2020
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