【題目】已知:△ABC內(nèi)接于⊙O,連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D.
(1)如圖1,求證;∠ABC+∠CAD=90°;

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E,若∠ADC=2∠ACB.求證:AC=2DE;

(3)如圖3,在(2)的條件下,連接BO交DE于點(diǎn)F,延長(zhǎng)ED交⊙O于點(diǎn)G,連接AG,若AC=6 ,BF=OD,求線段AG的長(zhǎng).

【答案】
(1)

證明:如圖1中,延長(zhǎng)AD交⊙O于點(diǎn)M,連接MC.

∵AM為⊙O的直徑,

∴∠ACM=90°,

∴∠ABC=∠AMC,

∵∠AMC+∠MAC=90°,

∴∠B+∠CAD=90°.


(2)

證明:如圖2中,過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC于H,連接BO.

∴∠AOB=2∠ACB,

∵∠ADC=2∠ACB,

∴∠AOB=∠ADC,

∴∠BOD=∠BDO,

∴BD=BO,

∵∠BED=∠AHO,∠ABD=∠AOH,

∴△BDE≌△AOH,

∴DE=AH,

∵OH⊥AC,

∴AH=CH= AC,

∴AC=2DE.


(3)

證明:如圖3中,過(guò)點(diǎn)O作ON⊥EG于N,OT⊥AB于T,連接OG.

∵AC=6 ,AC=2DE,

∴DE=3

∵OA=OB,

∴∠ABO=∠BAO,

∵∠ABO+∠BFE=90°,∠BAO+∠ADE=90°,

∴∠BFE=∠OFD=∠ODF,

∴OF=OD,

∵BF=OD,

∴OF=OD=BF,

∴△BFE≌△OFN,

∴BE=ON EF=FN

∵OF=OD,ON⊥FD,

∴EF=FN=ND= ,

∵BE=ON,OG=BD,

∴△BED≌△NOG,

∴ED=NG,

∴EG=5 ,

∵ON⊥EG OT⊥AB DE⊥AB,

∴四邊形ONET為矩形,

∴BE=ET=ON,

∵OT⊥AB,

∴AT=BT,AE=3BE,

設(shè)AO=BD=r,OD= r,AD= r

在Rt△AED中,AE2=AD2﹣ED2,

在Rt△BED中,BE2=BD2﹣ED2,

即( r)2﹣(3 2=9[( r)2﹣(3 2],

r=4 或r=﹣4 (舍去),

∴AE=15,

在△AEG中,AG= =10


【解析】(1)如圖1中,延長(zhǎng)AD交⊙O于點(diǎn)M,連接MC.首先證明∠ACM=90°,再證明∠ABC=∠M即可解決問(wèn)題.(2)如圖2中,過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC于H,連接BO.想辦法證明△BDE≌△AOH即可解決問(wèn)題.(3)如圖3中,過(guò)點(diǎn)O作ON⊥EG于N,OT⊥AB于T,連接OG.由△BFE≌△OFN,推出BE=ON EF=FN由OF=OD,ON⊥FD,推出EF=FN=ND= ,由△BED≌△NOG,推出ED=NG,再證明AE=3BE,設(shè)AO=BD=r,OD= r,AD= r在Rt△AED中,AE2=AD2﹣ED2 , 在Rt△BED中,BE2=BD2﹣ED2 , 即( r)2﹣(3 2=9[( r)2﹣(3 2],求出r即可解決問(wèn)題.

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(1)如圖1,若點(diǎn)N在邊BC上,點(diǎn)M在邊DC上,BN=CM,求證:BPBM=BNBC;

(2)如圖2,若N為邊DC的中點(diǎn),M在邊ED上,AM∥BN,求 的值;

(3)如圖3,若N、M分別為邊BC、EF的中點(diǎn),正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2,請(qǐng)直接寫(xiě)出AP的長(zhǎng).

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(1)在這次調(diào)查中,一共抽取了多少名學(xué)生?
(2)求在被調(diào)查的學(xué)生中,最喜歡滇金絲猴的學(xué)生有多少名?并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)如果全校有1200名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)全校最喜歡大熊貓的學(xué)生有多少名?

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(1)畫(huà)出△ABC關(guān)于直線n的對(duì)稱圖形△A′B′C′;

(2)直線m上存在一點(diǎn)P,使△APB的周長(zhǎng)最小;

在直線m上作出該點(diǎn)P;(保留畫(huà)圖痕跡)

②△APB的周長(zhǎng)的最小值為   .(直接寫(xiě)出結(jié)果)

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(2)若該商戶購(gòu)進(jìn)正方形紙板450張,長(zhǎng)方形紙板1300張. 問(wèn)豎式紙箱、橫式紙箱各加工多少個(gè),恰好能將購(gòu)進(jìn)的紙板全部用完?

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