Question

【題目】在正六邊形ABCDEF中，N、M為邊上的點，BM、AN相交于點P

（1）如圖1，若點N在邊BC上，點M在邊DC上，BN=CM，求證：BPBM=BNBC；

（2）如圖2，若N為邊DC的中點，M在邊ED上，AM∥BN，求 的值；

（3）如圖3，若N、M分別為邊BC、EF的中點，正六邊形ABCDEF的邊長為2，請直接寫出AP的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：在正六邊形ABCDEF中，AB=BC，∠ABC=∠BCD=120°，

∵BN=CM，

∴△ABN≌△BCM，

∴∠ANB=∠BMC，

∵∠PBN=∠CBM，

∴△BPN∽△BCM，

∴ = ，

∴BPBM=BNBC；

（2）

解：延長BC，ED交于點H，延長BN交DH于點G，取BG的中點K，連接KC，

在正六邊形ABCDEF中，∠BCD=∠CDE=120°，

∴∠HCD=∠CDH=60°，

∴∠H=60°，

∴DC=DH=CH，

∵DC=BC，

∴CH=BC，

∵BK=GK，

∴2KC=GH，KC∥DH，

∴∠GDN=∠KCN，

∵CN=DN，∠DNG=∠CNK，

∴△DNG≌△CNK，

∴KC=DG，

∴DG= DH= DE，

∵MG∥AB，AM∥BG，

∴四邊形MABG是平行四邊形，

∴MG=AB=ED，

∴ME=DG= DE，即 = ，

（3）

解：如圖3，過N作NH⊥AB，交AB的延長線于H，

∵∠ABC=120°，

∴∠NBH=60°，

Rt△NBH中，∠BNH=30°，BN=1，

∴BH= BN= ，

∴NH= = ，

Rt△ANH中，AN= = = ，

連接FC，延長FC與AN交于G，設FC與BM交于K，

易證△ANB≌△GNC，

∴CG=AB=2，AN=NG= ，FC=2AB=4，

∴FG=FC+CG=6，

∵EF∥BC，

∴ ，

∴ ，

∵FK+KC=6，

∴FK= ，KC= ，KG= +2= ，

∵KG∥AB，

∴ ，

∴ = ，

設PG=7x，AP=3x，

由PG+AP=AG=2 得：7x+3x=2 ，

x= ，

∴AP=3x= ．

【解析】（1）先證明△ABN≌△BCM，得∠ANB=∠BMC，再證明△BPN∽△BCM，列比例式可得結論；（2）作輔助線，構建等邊三角形的三角形的中位線CK，先證明△CDH是等邊三角形得：∠HCD=∠CDH=∠H=60°，DC=DH=CH，由△DNG≌△CNK，得KC=DG，DG= DH= DE，利用四邊形MABG是平行四邊形，
得MG=AB=ED，所以ME=DG= DE，即 = ；（3）如圖3，作輔助線，構建直角三角形和全等三角形，根據直角三角形30°的性質得：BH= ，NH= ，利用勾股定理求AN= ，證明△ANB≌△GNC，利用EF∥BC和KG∥AB，列比例式可得： = ，設PG=7x，AP=3x，根據PG+AP=AG=2 得：7x+3x=2 ，可得結論．
【考點精析】利用相似三角形的應用對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．