【題目】如圖,邊長為6的正方形中,分別是上的點(diǎn),,為垂足.

(1)如圖①, AF=BF,AE=2,點(diǎn)T是射線PF上的一個(gè)動點(diǎn),則當(dāng)△ABT為直角三角形時(shí),求AT的長;

(2)如圖②,若,連接,求證:

【答案】(1) 333;(2)見解析.

【解析】分析:1)解RtBAEtanABE==,得出∠ABE=30°.然后分三種情況進(jìn)行討論①當(dāng)點(diǎn)TAB的上方ATB=90°時(shí),顯然點(diǎn)T和點(diǎn)P重合易求AT=AP=AB=3;②當(dāng)點(diǎn)TAB的下方,ATB=90°時(shí),根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得TF=BF=AF=3,而∠BFT=60°,那么 FTB是等邊三角形,TB=3再根據(jù)勾股定理求出AT==3;

③當(dāng)點(diǎn)TAB的下方ABT=90°時(shí).在RtATB中利用勾股定理求出AT;

2)先證明∠1=3=4,tan1=,tan3=,得出=,等量代換得到=.再證明△PBC∽△PAF得出∠5=6,進(jìn)而可得∠5+∠7=90°,即∠CPF=90°,那么CPFP

詳解:(1)在正方形ABCD,可得∠DAB=90°.

∵在RtBAEtanABE===,∴∠ABE=30°.

點(diǎn)T是射線PF上的一個(gè)動點(diǎn),當(dāng)△ABT為直角三角形時(shí)分三種情況

①當(dāng)點(diǎn)TAB的上方,ATB=90°,顯然此時(shí)點(diǎn)T和點(diǎn)P重合,AT=AP=AB=3;

②當(dāng)點(diǎn)TAB的下方,ATB=90°,如圖①所示.

RtAPBAF=BF,可得AF=BF=PF=3,∴∠BPF=FBP=30°,∴∠BFT=60°.

RtATBTF=BF=AF=3,∴△FTB是等邊三角形TB=3,AT==3

③當(dāng)點(diǎn)TAB的下方,ABT=90°時(shí),如圖②所示.

RtFBT,BFT=60°,BF=3,BT=BFtan60°=3

RtATBAT==3

綜上所述當(dāng)△ABT為直角三角形時(shí)AT的長為333;

2)如圖③所示.

∵四邊形ABCD是正方形AB=AD=BC,ADBCDAB=90°,∴∠3=4

∵在RtEABAPBE,∴∠1+∠2=90°,3+∠2=90°,∴∠1=3,∴∠1=3=4

tan1=tan3==

AE=AF,AB=BC,=

在△PBC和△PAF中,∵,∠4=∠1,∴△PBC∽△PAF,∴∠5=6

∵∠6+∠7=90/span>°,∴∠5+∠7=90°,即∠CPF=90°,CPFP

練習(xí)冊系列答案
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1

2

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(注:小明和媽媽始終在同一條筆直的公路上行走,圖像上A、C、D三點(diǎn)在一條直線上)

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