Question

【題目】如圖（1）AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，點(diǎn)P在線段AB上以2cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動，它們運(yùn)動的時間為t（s）．

（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，當(dāng)t＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由；

（2）在（1）的前提條件下，判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，并證明；

（3）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他條件不變．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為xcm/s，是否存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x、t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）△ACP與△BPQ全等，理由見解析；（2）PC⊥PQ，證明見解析；（3）存在，當(dāng)t＝1s，x＝2cm/s或t＝s，x＝cm/s時，△ACP與△BPQ全等．

【解析】

（1）利用定理證明；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷線段和線段的位置關(guān)系；

（3）分，兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列式計(jì)算．

（1）△ACP與△BPQ全等，

理由如下：當(dāng)t＝1時，AP＝BQ＝2，

則BP＝9﹣2＝7，

∴BP＝AC，

又∵∠A＝∠B＝90°，

在△ACP和△BPQ中，

，

∴△ACP≌△BPQ（SAS）；

（2）PC⊥PQ，

證明：∵△ACP≌△BPQ，

∴∠ACP＝∠BPQ，

∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．

∴∠CPQ＝90°，

即線段PC與線段PQ垂直；

（3）①若△ACP≌△BPQ，

則AC＝BP，AP＝BQ，

∴9﹣2t＝7，

解得，t＝1（s），則x＝2（cm/s）；

②若△ACP≌△BQP，

則AC＝BQ，AP＝BP，

則2t＝×9，

解得，t＝（s），則x＝7÷＝（cm/s），

故當(dāng)t＝1s，x＝2cm/s或t＝s，x＝cm/s時，△ACP與△BPQ全等．