Question

【題目】已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，按以下要求解答問(wèn)題：

（1）如圖1，將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，兩直角邊分別與OA,OB交于點(diǎn)C，D．

①比較大�。�PC______PD． (選擇“>”或“<”或“=”填空）；

②證明①中的結(jié)論．

（2）將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線ＯＭ上移動(dòng)，一直角邊與邊OA交于點(diǎn)C，且OC=1，另一直角邊與直線OB，直線OA分別交于點(diǎn)D，E，當(dāng)以P，C，E為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似時(shí)，試求的長(zhǎng)．（提示：請(qǐng)先在備用圖中畫(huà)出相應(yīng)的圖形，再求的長(zhǎng)）.

Answer 1

【答案】（1）①PC=PD;②證明見(jiàn)解析；（2）OP=1或OP=．

【解析】

試題（1）①PC=PD;②過(guò)P作PH⊥OA，PN⊥OB，再證△PCH≌△PDN，即可；

（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①若PD與邊OB相交；②PD與邊OB的反向延長(zhǎng)線相交．

試題解析：（1）①PC=PD;

②過(guò)P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為H，N，得∠HPN=90°，

∴∠HPC+∠CPN=90°

∵∠CPN+∠NPD=90°,

∴∠HPC=∠NPD,

∵OM是∠AOB的平分線,

∴PH=PN.

又∵∠PHC=∠PND=90°

∴△PCH≌△PDN，

∴PC=PD;

(2)①若PD與邊OB相交

∵∠PCE＞∠DCO，∠CPE＝∠DOC=90°

∴由△PCE與△OCD相似可得∠PEC=∠DCO

∴DE=CD，而DO⊥OC，

∴OE="OC=1"

∴OP為Rt△CPE斜邊上的中線

∴OP=EC="OC=1" ;

②若PD與邊OB的反向延長(zhǎng)線相交， 過(guò)P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為H，N， 則PH=PN

∵△PCE與△DCO相似，且∠PEC＞∠OCD，∠CPE＝∠DOC=90°

∴∠PCE=∠OCD

又∵∠PCO＋∠PEC=90°,∠PDO +∠OED =90°,

且∠PEC＝∠OED，∴∠PDO=∠PCO.

而PH=PN，∴Rt△PHC≌Rt△PND（A.A.S）.

∴HC=ND，PC=PD， ∴∠PCD= ∠PDC =45°，

∴∠PCO=∠DCO=∠PDO =22.5°

又∠BOM=∠ODP+∠OPD=45°,

∴∠ODP=∠OPD=22.5°

∴OP=OD,

設(shè)OP=x，則HC=OC－OH=，

而DN=DO＋ON=OP+ON=， ∴，

∴，即OP=，

綜上所述，滿足條件的OP=1或OP=．