Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x軸于A，B兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點(diǎn)G．

（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對(duì)稱軸l在邊OA（不包括O、A兩點(diǎn)）上平行移動(dòng)，分別交x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)P，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示PM的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，連結(jié)PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似？若存在，求出此時(shí)m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2﹣2ax+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)C（0，4），

∴ ，解得 ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+4

（2）解：設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

∵A（3，0），點(diǎn)C（0，4），

∴ ，解得 ，

∴直線AC的解析式為y=﹣ x+4．

∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)M在AC上，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，﹣ m+4），

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)P在拋物線y=﹣ x2+ x+4上，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣ m2+ m+4），

∴PM=PE﹣ME=（﹣ m2+ m+4）﹣（﹣ m+4）=﹣ m2+4m，

即PM=﹣ m2+4m（0＜m＜3）

（3）解：在（2）的條件下，連結(jié)PC，在CD上方的拋物線部分存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似．理由如下：

由題意，可得AE=3﹣m，EM=﹣ m+4，CF=m，若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似，P點(diǎn)在F上，PF=﹣ m2+ m+4﹣4=﹣ m2+ m．情況：

①若△PFC∽△AEM，則PF：AE=FC：EM，

即（﹣ m2+ m）：（3﹣m）=m：（﹣ m+4），

∵m≠0且m≠3，

∴m= ．

∵△PFC∽△AEM，

∴∠PCF=∠AME，

∵∠AME=∠CMF，

∴∠PCF=∠CMF．

在直角△CMF中，

∵∠CMF+∠MCF=90°，

∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°，

∴△PCM為直角三角形；

②若△CFP∽△AEM，則CF：AE=PF：EM，

即m：（3﹣m）=（﹣ m2+ m）：（﹣ m+4），

∵m≠0且m≠3，

∴m=1．

∵△CFP∽△AEM，

∴∠CPF=∠AME，

∵∠AME=∠CMF，

∴∠CPF=∠CMF．

∴CP=CM，

∴△PCM為等腰三角形．

綜上所述，存在這樣的點(diǎn)P使△PFC與△AEM相似．此時(shí)m的值為 或1，△PCM為直角三角形或等腰三角形．

【解析】（1）把AC兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可；（2）豎直線段的長(zhǎng)等于上縱減下縱，用m的代數(shù)式表示P、M的縱坐標(biāo)，二者相減即可；（3）兩三角形的相似須分類討論：△PFC∽△AEM或△CFP∽△AEM；由邊方面的關(guān)系相等或角之間的關(guān)系可判定△PCM為直角三角形或等腰三角形.