【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,點E是AD邊上的動點,將矩形ABCD沿BE折疊,點A落在點A′處,連接A′C、BD.
(1)如圖1,若點A′恰好落在BD上,求tan∠ABE的值;
(2)如圖2,已知AE=2,求△A′CB的面積;
(3)點E在AD邊上運動的過程中,∠A′CB的度數(shù)是否存在最大值,若存在,求出此時線段AE的長;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)19.2;(3).
【解析】
(1)先根據(jù)勾股定理得,BD=10,最后用勾股定理建立方程求解即可得出結論;
(2)過點A’作FH⊥AD,A’G⊥AB,設A’F=x,證明△FEA’∽GBA’,列出比例式求出x的值,然后求出A’H,代入三角形面積公式進行計算;
(3)先判斷出∠A'CB最大時,點A'在CE上,進而利用三角形的面積求出CE,進而用勾股定理求出DE,即可得出結論.
解:(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,AD=BC=8,
在Rt△ABD中,根據(jù)勾股定理得,BD=10,
設AE=x,
∴DE=ADAE=8x,
由折疊知,A'E=AE=x,A'B=AB=6,∠BA'E=∠A=90°,
∴A'D=BDA'B=4,
∴∠DA'E=90°,
在Rt△DA'E中,根據(jù)勾股定理得,DE2A'E2=A'D2=16,
∴(8x)2x2=16,
∴x=3,
∴AE=3,
在Rt△ABE中,tan∠ABE=;
(2)在四邊形ABA’E中,∠ABA’=180°-∠AEA’,而∠DEA’=180°-∠AEA’,
∴∠ABA’=∠DEA’,
如圖1,過點A’作FH⊥AD,A’G⊥AB,設A’F=x,則EF=,
則FH⊥BC,△FEA’∽GBA’,
∴,即,
解得:,
∴A’H=,
∴S△A′CB=
(3)∠A′CB的度數(shù)存在最大值,
理由:如圖2,過點B作BF⊥CA'交CA'的延長線于F,
在Rt△BFC中,sin∠A'CB=,
∴BF越大時,sin∠A'CB越大,即∠A'CB越大,
當點E在邊AD上運動時,點A'與F重合時,BF最大=A'B=AB=6,
∴A'B⊥A'C,
∴∠BA'C=90°,
由折疊知,∠BA'E=∠A=∠D=90°,
∴點A'在CE上,如圖3,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠D=∠A=90°,CD=AB=6,
根據(jù)三角形面積得,Sspan>△BCE=BCAB=CEA'B,
∵A'B=AB,
∴CE=BC=8,
在Rt△CDE中,根據(jù)勾股定理DE=,
∴AE=ADDE=8.
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【題目】如圖,在正方形ABCD外取一點E,連接AE、BE、DE.過點A作AE的垂線交DE于點P.若AE=AP=1,PB=.下列結論:①△APD≌△AEB;②點B到直線AE的距離為;③EB⊥ED;④S△APD+S△APB=1+;⑤S正方形ABCD=4+.其中正確結論的序號是 .
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【題目】學生的學業(yè)負擔過重會嚴重影響學生對待學習的態(tài)度.為此我市教育部門對部分學校的八年級學生對待學習的態(tài)度進行了一次抽樣調查(把學習態(tài)度分為三個層級,A級:對學習很感興趣;B級:對學習較感興趣;C級:對學習不感興趣),并將調查結果繪制成圖①和圖②的統(tǒng)計圖(不完整).請根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)此次抽樣調查中,共調查了 名學生;
(2)將圖①補充完整;
(3)求出圖②中C級所占的圓心角的度數(shù);
(4)根據(jù)抽樣調查結果,請你估計我市近8000名八年級學生中大約有多少名學生學習態(tài)度達標(達標包括A級和B級)?
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【題目】汽車專賣店銷售某種型號的汽車.已知該型號汽車的進價為10萬元/輛,銷售一段時間后發(fā)現(xiàn):當該型號汽車售價定為15萬元/輛時,平均每周售出8輛;售價每降低0.5萬元,平均每周多售出2輛.
(1)若要平均每周售出汽車不低于15輛,該汽車的售價最多定為多少萬元?
(2)該店計劃下調售價,盡可能增加銷量,減少庫存,但要確保平均每周的銷售利潤為40萬元,每輛汽車的售價定為多少合適?
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,E是AD邊上的中點,連接BE,并延長BE交CD的延長線于點F.
(1)證明:FD=AB;(2)當平行四邊形ABCD的面積為8時,求△FED的面積.
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【題目】為了傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校學生會組織了一次全校1200名學生參加的“漢字聽寫”大賽,并設成績優(yōu)勝獎.
賽后發(fā)現(xiàn)所有參賽學生的成績均不低于50分.為了更好地了解本次大賽的成績分布情況,隨機抽取了其中100名學生的成績作為樣本進行整理,得到下列不完整的統(tǒng)計圖表:
成績x/分 | 頻數(shù) | 頻率 |
50≤x<60 | 10 | 0.10 |
60≤x<70 | 25 | 0.25 |
70≤x<80 | 30 | b |
80≤x<90 | a | 0.20 |
90≤x≤100 | 15 | 0.15 |
成績在70≤x<80這一組的是:
70 70 71 71 71 72 72 73 73 73 73 75 75 75 75 76 76 76 76 76 76 76 76 77 77 78 78 78 79 79
請根據(jù)所給信息,解答下列問題:
(1)a= ,b= ;
(2)請補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)這次比賽成績的中位數(shù)是 ;
(4)若這次比賽成績在78分以上(含78分)的學生獲得優(yōu)勝獎,則該校參加這次比賽的1200名學生中獲優(yōu)勝獎的約有多少人?
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【題目】如圖,已知直線與拋物線相交于A,B兩點,且點A(1,-4)為拋物線的頂點,點B在x軸上。
(1)求拋物線的解析式;
(2)在(1)中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點P,使△POB與△POC全等?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)若點Q是y軸上一點,且△ABQ為直角三角形,求點Q的坐標。
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【題目】如圖,在△ABC中,以點AB為直徑的⊙O分別與AC,BC交于點E,D,且BD=CD.
(1)求證:∠B=∠C .
(2)過點D作DF⊥OD,過點F作FH⊥AB.若AB=5,CD=,求AH的值.
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【題目】如圖,點D在⊙O的直徑AB的延長線上,點C在⊙O上,AC=CD,∠ACD=120°.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為2,求圖中陰影部分的面積.
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