【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弧CD⊥AB,垂足為H,P為弧AD上一點(diǎn),連接PA、PB,PB交CD于E.
(1)如圖(1)連接PC、CB,求證:∠BCP=∠PED;
(2)如圖(2)過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線(xiàn)交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)A向PF引垂線(xiàn),垂足為G,求證:∠APG=∠F;
(3)如圖(3)在圖(2)的條件下,連接PH,若PH=PF,3PF=5PG,BE=2,求⊙O的直徑AB.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)AB=15
【解析】
(1)由垂徑定理得出∠CPB=∠BCD,根據(jù)∠BCP=∠BCD+∠PCD=∠CPB+∠PCD=∠PED即可得證;
(2)連接OP,知OP=OB,先證∠FPE=∠FEP得∠F+2∠FPE=180°,再由∠APG+∠FPE=90得2∠APG+2∠FPE=180°,據(jù)此可得2∠APG=∠F,據(jù)此即可得證;
(3)連接AE,取AE中點(diǎn)N,連接HN、PN,過(guò)點(diǎn)E作EM⊥PF,先證∠PAE=∠F,由tan∠PAE=tan∠F得,再證∠GAP=∠MPE,由sin∠GAP=sin∠MPE得,從而得出,即MF=GP,由3PF=5PG即,可設(shè)PG=3k,得PF=5k、MF=PG=3k、PM=2k,由∠FPE=∠PEF知PF=EF=5k、EM=4k及PE=2k、AP=k,證∠PEM=∠ABP得BP=3k,繼而可得BE=k=2,據(jù)此求得k=2,從而得出AP、BP的長(zhǎng),利用勾股定理可得答案.
證明:(1)∵AB是⊙O的直徑且AB⊥CD,
∴∠CPB=∠BCD,
∴∠BCP=∠BCD+∠PCD=∠CPB+∠PCD=∠PED,
∴∠BCP=∠PED;
(2)連接OP,則OP=OB,
∴∠OPB=∠OBP,
∵PF是⊙O的切線(xiàn),
∴OP⊥PF,則∠OPF=90°,
∠FPE=90°﹣∠OPE,
∵∠PEF=∠HEB=90°﹣∠OBP,
∴∠FPE=∠FEP,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠APB=90°,
∴∠APG+∠FPE=90°,
∴2∠APG+2∠FPE=180°,
∵∠F+∠FPE+∠PEF=180°,
∵∠F+2∠FPE=180°
∴2∠APG=∠F,
∴∠APG= ∠F;
(3)連接AE,取AE中點(diǎn)N,連接HN、PN,過(guò)點(diǎn)E作EM⊥PF于M,
由(2)知∠APB=∠AHE=90°,
∵AN=EN,
∴A、H、E、P四點(diǎn)共圓,
∴∠PAE=∠PHF,
∵PH=PF,
∴∠PHF=∠F,
∴∠PAE=∠F,
tan∠PAE=tan∠F,
∴,
由(2)知∠APB=∠G=∠PME=90°,
∴∠GAP=∠MPE,
∴sin∠GAP=sin∠MPE,
則,
∴,
∴MF=GP,
∵3PF=5PG,
∴,
設(shè)PG=3k,則PF=5k,MF=PG=3k,PM=2k
由(2)知∠FPE=∠PEF,
∴PF=EF=5k,
則EM=4k,
∴tan∠PEM=,tan∠F=,
∴tan∠PAE=,
∵PE=,
∴AP=k,
∵∠APG+∠EPM=∠EPM+∠PEM=90°,
∴∠APG=∠PEM,
∵∠APG+∠OPA=∠ABP+∠BAP=90°,且∠OAP=∠OPA,
∴∠APG=∠ABP,
∴∠PEM=∠ABP,
則tan∠ABP=tan∠PEM,即,
∴,
則BP=3k,
∴BE=k=2,
則k=2,
∴AP=3、BP=6,
根據(jù)勾股定理得,AB=15.
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A.B.
C.D.
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(2)客車(chē)的速度為60千米/時(shí);
(3)兩車(chē)相遇時(shí),客車(chē)行駛了3.75小時(shí);
(4)相遇時(shí),出租車(chē)離甲地的路程為225千米.
其中正確的個(gè)數(shù)有( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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