【題目】如圖,四邊形ABCD,,連接BD

1)如圖1,求證DB平分;

2)如圖2,連接AC,若,求證:;

3)如圖3,在(2)的條件下,延長ADBC的延長線于F,點(diǎn)E在邊AB上,,連CEBDG,當(dāng),時(shí),求BD的長.

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)7

【解析】

1)過BBEADE,過BBFDCF.根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°得到∠A+DCB=180°.再根據(jù)同角的補(bǔ)角相等得到∠A=FCB.即可證明△AEB≌△CFB,得到BE=BF,根據(jù)到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上即可得到結(jié)論;

2)如圖2中,在BD截取DE=AD,連接AE,首先證明△ADE是等邊三角形,只要證明△DAC≌△EABSAS),即可解決問題;

3)如圖3中,作ENDCBDN,在DF上截取DM=DC.想辦法證明△CFM≌△EBNAAS),△DGC≌△NGEAAS),即可解決問題.

1)如圖1.過BBEADE,過BBFDCF

∵∠ABC+ADC=180°,∴∠A+DCB=180°.

∵∠DCB+FCB=180°,∴∠A=FCB

BEAD,BFDC,∴∠AEB=CFB=90°.

在△AEB和△CFB中,∵∠A=FCB,∠AEB=CFB=90°,AB=CB,

∴△AEB≌△CFB,

BE=BF

BEADBFDC,BE=BF,∴DB平分∠ADC;

2)如圖2中,在BD截取DE=AD,連接AE

AB=CB,∠BAC=60°,∴△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=60°.

∵∠ABC+ADC=180°,∴∠ADC=120°.

由(1)得:DB平分∠ADC,∴∠ADB=CDB=60°.

DE=AD,∴△ADE是等邊三角形,∴AD=DE=AE

∵∠DAE=CAB=60°,∴∠DAC=BAE,

在△DAC與△EAB中,∵

∴△DAC≌△EABSAS),∴DC=BE

BD=BE+DE,∴BD=AD+CD,

BDCD=AD

3)作ENDCBDN,在DF上截取DM=DC

∵∠ADC=120°,∴∠CDM=60°.

DM=DC,∴△DMC是等邊三角形,

CM=CD=DM,∠DMC=60°,∴∠FMC=120°.

CDEN,∴∠CDG=ENG=60°,

∴∠ENB=120°,∴∠CMF=ENB

∵∠F+FBD=ADB=60°,∠FBD+EBN=60°,

∴∠F=EBN

在△CFM和△EBN中,∵∠CMF=ENB,∠F=EBN,CF=BE

∴△CFM≌△EBNAAS),∴FM=BNEN=CM=CD

ENCD,∴∠CDG=GNE

∵∠DGC=EGN,∴△DGC≌△NGEAAS),

DG=GN=3,∴2BD=AFFM+DN+BN=8+6=14,∴BD=7

練習(xí)冊系列答案
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2)求線段的長度;

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