Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為r（r＞0）．給出如下定義：若平面上一點(diǎn)P到圓心O的距離d，滿足，則稱點(diǎn)P為⊙O的“隨心點(diǎn)”．

（1）當(dāng)⊙O的半徑r=2時(shí)，A（3，0），B（0，4），C（，2），D（，）中，⊙O的“隨心點(diǎn)”是 ；

（2）若點(diǎn)E（4，3）是⊙O的“隨心點(diǎn)”，求⊙O的半徑r的取值范圍；

（3）當(dāng)⊙O的半徑r=2時(shí)，直線y=- x+b（b≠0）與x軸交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，若線段MN上存在⊙O的“隨心點(diǎn)”，直接寫出b的取值范圍 ．

Answer 1

【答案】(1) A,C ；（2）；(3) 1≤b≤或-≤b≤-1．

【解析】

（1）根據(jù)已知條件求出d的范圍：1≤d≤3，再將各點(diǎn)距離O點(diǎn)的距離，進(jìn)行判斷是否在此范圍內(nèi)即可，滿足條件的即為隨心點(diǎn)；

（2）根據(jù)點(diǎn)E（4，3）是⊙O的“隨心點(diǎn)”，可根據(jù)，求出d=5，再求出r的范圍即可；

（3）如圖a∥b∥c∥d，⊙O的半徑r=2，求出隨心點(diǎn)范圍，再分情況點(diǎn)N在y軸正半軸時(shí)，當(dāng)點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸時(shí)，分情況討論即可.

(1) ∵⊙O的半徑r=2，
∴=3，=1

∴1≤d≤3

∵A（3，0），
∴OA=3，在范圍內(nèi)
∴點(diǎn)A是⊙O的“隨心點(diǎn)”

∵B（0，4）

∴OB=4，而4＞3，不在范圍內(nèi)

∴B是不是⊙O的“隨心點(diǎn)”，
∵C（，2），
∴OC=，在范圍內(nèi)
∴點(diǎn)C是⊙O的“隨心點(diǎn)”，
∵D（，），
∴OD=＜1，不在范圍內(nèi)
∴點(diǎn)D不是⊙O的“隨心點(diǎn)”，
故答案為：A,C

（2）∵點(diǎn)E（4，3）是⊙O的“隨心點(diǎn)”

∴OE=5，即d=5

若， ∴r=10

若 ，

∴

(3)

∵如圖a∥b∥c∥d，⊙O的半徑r=2，隨心點(diǎn)范圍

∴

∵直線MN的解析式為y=x+b，
∴OM=ON，
①點(diǎn)N在y軸正半軸時(shí)，
當(dāng)點(diǎn)M是⊙O的“隨心點(diǎn)”，此時(shí)，點(diǎn)M（-1，0），
將M（-1，0）代入直線MN的解析式y=x+b中，解得，b=1，
即：b的最小值為1，
過(guò)點(diǎn)O作OG⊥M'N'于G，
當(dāng)點(diǎn)G是⊙O的“隨心點(diǎn)”時(shí)，此時(shí)OG=3，
在Rt△ON'G中，∠ON'G=45°，
∴GO=3

∴在Rt△GNN’中，===，
b的最大值為，
∴1≤b≤，
②當(dāng)點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸時(shí)，同①的方法得出-≤b≤-1．
綜上所述，b的取值范圍是：1≤b≤或-≤b≤-1．