【題目】如圖,拋物線y=﹣(x﹣1)2+c與x軸交于A,B(A,B分別在y軸的左右兩側(cè))兩點,與y軸的正半軸交于點C,頂點為D,已知A(﹣1,0).

(1)求點B,C的坐標(biāo);
(2)判斷△CDB的形狀并說明理由;
(3)將△COB沿x軸向右平移t個單位長度(0<t<3)得到△QPE.△QPE與△CDB重疊部分(如圖中陰影部分)面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍.

【答案】
(1)

解:∵點A(﹣1,0)在拋物線y=﹣(x﹣1)2+c上,

∴0=﹣(﹣1﹣1)2+c,得c=4,

∴拋物線解析式為:y=﹣(x﹣1)2+4,

令x=0,得y=3,∴C(0,3);

令y=0,得x=﹣1或x=3,∴B(3,0).


(2)

解:△CDB為直角三角形.理由如下:

由拋物線解析式,得頂點D的坐標(biāo)為(1,4).

如答圖1所示,過點D作DM⊥x軸于點M,則OM=1,DM=4,BM=OB﹣OM=2.

過點C作CN⊥DM于點N,則CN=1,DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1.

在Rt△OBC中,由勾股定理得:BC= = = ;

在Rt△CND中,由勾股定理得:CD= = = ;

在Rt△BMD中,由勾股定理得:BD= = =

∵BC2+CD2=BD2,

∴△CDB為直角三角形(勾股定理的逆定理).


(3)

解:設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,∵B(3,0),C(0,3),

,

解得k=﹣1,b=3,

∴y=﹣x+3,

直線QE是直線BC向右平移t個單位得到,

∴直線QE的解析式為:y=﹣(x﹣t)+3=﹣x+3+t;

設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n,∵B(3,0),D(1,4),

,

解得:m=﹣2,n=6,

∴y=﹣2x+6.

連接CQ并延長,射線CQ交BD于點G,則G( ,3).

在△COB向右平移的過程中:

(I)當(dāng)0<t≤ 時,如答圖2所示:

設(shè)PQ與BC交于點K,可得QK=CQ=t,PB=PK=3﹣t.

設(shè)QE與BD的交點為F,則: ,解得 ,∴F(3﹣t,2t).

S=SQPE﹣SPBK﹣SFBE= PEPQ﹣ PBPK﹣ BEyF= ×3×3﹣ (3﹣t)2 t2t= t2+3t;

(II)當(dāng) <t<3時,如答圖3所示:

設(shè)PQ分別與BC、BD交于點K、點J.

∵CQ=t,

∴KQ=t,PK=PB=3﹣t.

直線BD解析式為y=﹣2x+6,令x=t,得y=6﹣2t,

∴J(t,6﹣2t).

S=SPBJ﹣SPBK= PBPJ﹣ PBPK= (3﹣t)(6﹣2t)﹣ (3﹣t)2= t2﹣3t+

綜上所述,S與t的函數(shù)關(guān)系式為:

S=


【解析】(1)首先用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,然后進一步確定點B,C的坐標(biāo);(2)分別求出△CDB三邊的長度,利用勾股定理的逆定理判定△CDB為直角三角形;(3)△COB沿x軸向右平移過程中,分兩個階段:(I)當(dāng)0<t≤ 時,如答圖2所示,此時重疊部分為一個四邊形;(II)當(dāng) <t<3時,如答圖3所示,此時重疊部分為一個三角形.

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