Question

如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1厘米，AB=3厘米，BC=5厘米，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以1厘米/秒的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以2厘米/秒的速度沿CD方向運(yùn)動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．

（1）求線段CD的長；

（2）t為何值時(shí)，線段PQ將四邊形ABCD的面積分為1：2兩部分？

（3）伴隨P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，線段PQ的垂直平分線為l．

①t為何值時(shí)，l經(jīng)過點(diǎn)C？

②求當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)t的值，并求出此時(shí)刻線段PQ的長．

Answer 1

 解：（1）如圖1，作DE⊥BC于E，

∵AD∥BC，∠A=90°，

∴四邊形ABED為矩形，

∴BE=AD=1，DE=AB=3，

∴EC=BC﹣BE=4，

在Rt△DEC中，DE²+EC²=DC²，

∴厘米；

（2）∵點(diǎn)P的速度為1厘米/秒，點(diǎn)Q的速度為2厘米/秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

∴BP=t厘米，PC=（5﹣t）厘米，CQ=2t厘米，QD=（5﹣2t）厘米，

且0＜t≤2.5，

作QH⊥BC于點(diǎn)H，

∴DE∥QH，

∴∠DEC=∠QHC，

∵∠C=∠C，

∴△DEC∽△QHC，

∴，

∴，

∴，

∴，

，

分兩種情況討論：

①當(dāng)S_△PQC：S_{四邊形ABCD}=1：3時(shí)，，

即t²﹣5t+5=0，

解得：（舍去）；

②S_△PQC：S_{四邊形ABCD}=2：3時(shí)，，

即t²﹣5t+10=0，

∵△＜0，

∴方程無解，

∴當(dāng)t為秒時(shí)，線段PQ將四邊形ABCD的面積分為1：2兩部分；

（3）如圖2，

①當(dāng)PQ的垂直平分線l經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，可知PC=QC，

∴5﹣t=2t，

∴3t=5，

∴t=，

∴當(dāng)t=秒時(shí)，直線l經(jīng)過點(diǎn)C；

②如圖3，

當(dāng)PQ的垂直平分線l經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，

可知DQ=DP，

連接DP，則在Rt△DEP中，DP²=DE²+EP²，

∴DQ²=DE²+EP²，

∴（5﹣2t）²=3²+（t﹣1）²，

∴t₁=1，t₂=5（舍去），

∴BP=1厘米，

∴當(dāng)t=1秒時(shí)，直線l經(jīng)過點(diǎn)D，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合；

如圖4，連接FQ，

∵直線l是△DPQ的對(duì)稱軸，

∴△DEF≌△DQF，∠DQF=90°，EF=QF，

設(shè)EF=x厘米，則QF=x厘米，F(xiàn)C=（4﹣x）厘米，

在Rt△FQC中，F(xiàn)Q²+QC²=FC²，

x²+2²=（4﹣x）²，

∴x=，

∴EF=厘米，

在Rt△DEF中，DE²+EF²=DF²，

∴，

∴DF=厘米，

在Rt△DEF中，EG⊥DF，

∴，

∴EG=，

∴EG=厘米，

∴PQ=2EG=厘米．