Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）三點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在y軸上是否存在點(diǎn)M，使△ACM為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）若點(diǎn)P（t，0）為線段AB上一動點(diǎn)（不與A，B重合），過P作y軸的平行線，記該直線右側(cè)與△ABC圍成的圖形面積為S，試確定S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）代入拋物線y=ax²+bx+c得：

，

解得：，

則拋物線的解析式是：y=﹣x²+x+3；

（2）如圖1，作線段CA的垂直平分線，交y軸于M，交AC與N，連結(jié)AM₁，則△AM₁C是等腰三角形，

∵AC==，

∴CN=，

∵△CNM₁∽△COA，

∴=，

∴=，

∴CM₁=，

∴OM₁=OC﹣CM₁=3﹣=，

∴M₁的坐標(biāo)是（0，），

當(dāng)CA=CM₂=時，則△AM₂C是等腰三角形，

則OM₂=3+，

M₂的坐標(biāo)是（0，3+），

當(dāng)CA=AM₃=時，則△AM₃C是等腰三角形，

則OM₃=3，

M₃的坐標(biāo)是（0，﹣3），

當(dāng)CA=CM₄=時，則△AM₄C是等腰三角形，

則OM₄=﹣3，

M₄的坐標(biāo)是（0，3﹣），

（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在y軸或y軸右側(cè)時，

設(shè)直線與BC交與點(diǎn)D，

∵OB=4，OC=3，

∴S_△BOC=6，

∵BP=BO﹣OP=4﹣t，

∴=，

∵△BPD∽△BOC，

∴=（）²，

∴=（）²，

∴S=S_△BPD=t²﹣3t+6（0≤t＜4）；

當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時，

設(shè)直線與AC交與點(diǎn)E，

∵OP=﹣t，AP=t+2，

∴=，

∵=（）²，

∴=（）²，

∴S_△APE=，

∴S=S_△ABC﹣S_△APE=9﹣=﹣t²﹣3t+6（﹣2＜t＜0）．