【題目】理解:數(shù)學(xué)興趣小組在探究如何求tan15°的值,經(jīng)過思考、討論、交流,得到以下思路:
思路一 如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D,使BD=BA,連接AD.設(shè)AC=1,則BD=BA=2,BC=.tanD=tan15°===2﹣.
思路二 利用科普書上的和(差)角正切公式:tan(α±β)=.假設(shè)α=60°,β=45°代入差角正切公式:tan15°=tan(60°﹣45°)===2﹣.
思路三 在頂角為30°的等腰三角形中,作腰上的高也可以…
思路四 …
請(qǐng)解決下列問題(上述思路僅供參考).
(1)類比:求出tan75°的值;
(2)應(yīng)用:如圖2,某電視塔建在一座小山上,山高BC為30米,在地平面上有一點(diǎn)A,測(cè)得A,C兩點(diǎn)間距離為60米,從A測(cè)得電視塔的視角(∠CAD)為45°,求這座電視塔CD的高度;
(3)拓展:如圖3,直線y=x﹣1與雙曲線y=交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,將直線AB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)45°后,是否仍與雙曲線相交?若能,求出交點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說明理由.
【答案】
(1)
解:(1)方法一:如圖1,
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D,使BD=BA,連接AD.
設(shè)AC=1,則BD=BA=2,BC=.
tan∠DAC=tan75°====2+;
方法二:tan75°=tan(45°+30°)
====2+;
(2)
如圖2,
在Rt△ABC中,
AB===,
sin∠BAC===,即∠BAC=30°.
∵∠DAC=45°,∴∠DAB=45°+30°=75°.
在Rt△ABD中,tan∠DAB=,
∴DB=ABtan∠DAB=(2+)=+90,
∴DC=DB﹣BC=+90﹣30=+60.
答:這座電視塔CD的高度為(+60)米;
(3)
①若直線AB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后,與雙曲線相交于點(diǎn)P,如圖3.
過點(diǎn)C作CD∥x軸,過點(diǎn)P作PE⊥CD于E,過點(diǎn)A作AF⊥CD于F.
解方程組,得
或,
∴點(diǎn)A(4,1),點(diǎn)B(﹣2,﹣2).
對(duì)于y=x﹣1,當(dāng)x=0時(shí),y=﹣1,則C(0,﹣1),OC=1,
∴CF=4,AF=1﹣(﹣1)=2,
∴tan∠ACF===,
∴tan∠PCE=tan(∠ACP+∠ACF)=tan(45°+∠ACF)
=
==3,即=3.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b),
則有,
解得:或,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,﹣4)或(,3);
②若直線AB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后,與x軸相交于點(diǎn)G,如圖4.
由①可知∠ACP=45°,P((,3),則CP⊥CG.
過點(diǎn)P作PH⊥y軸于H,
則∠GOC=∠CHP=90°,∠GCO=90°﹣∠HCP=∠CPH,
∴△GOC∽△CHP,
∴=.
∵CH=3﹣(﹣1)=4,PH=,OC=1,
∴==,
∴GO=3,G(﹣3,0).
設(shè)直線CG的解析式為y=kx+b,
則有,
解得,
∴直線CG的解析式為y=x﹣1.
聯(lián)立,
消去y,得
=x﹣1,
整理得:x2+3x+12=0,
∵△=32﹣4×1×12=﹣39<0,
∴方程沒有實(shí)數(shù)根,
∴點(diǎn)P不存在.
綜上所述:直線AB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)45°后,能與雙曲線相交,交點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,﹣4)或(,3).
【解析】(1)如圖1,只需借鑒思路一或思路二的方法,就可解決問題;
(2)如圖2,在Rt△ABC中,運(yùn)用勾股定理求出AB,運(yùn)用三角函數(shù)求得∠BAC=30°.從而得到∠DAB=75°.在Rt△ABD中,運(yùn)用三角函數(shù)就可求出DB,從而求出DC長(zhǎng);
(3)①若直線AB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后,與雙曲線相交于點(diǎn)P,如圖3.過點(diǎn)C作CD∥x軸,過點(diǎn)P作PE⊥CD于E,過點(diǎn)A作AF⊥CD于F,可先求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo),從而求出tan∠ACF的值,進(jìn)而利用和(差)角正切公式求出tan∠PCE=tan(45°+∠ACF)的值,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b),根據(jù)點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上及tan∠PCE的值,可得到關(guān)于a、b的兩個(gè)方程,解這個(gè)方程組就可得到點(diǎn)P的坐標(biāo);②若直線AB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后,與x軸相交于點(diǎn)G,如圖4,由①可知∠ACP=45°,P((,3),則有CP⊥CG.過點(diǎn)P作PH⊥y軸于H,易證△GOC∽△CHP,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出GO,從而得到點(diǎn)G的坐標(biāo),然后用待定系數(shù)法求出直線CG的解析式,然后將直線CG與反比例函數(shù)的解析式組成方程組,消去y,得到關(guān)于x的方程,運(yùn)用根的判別式判定,得到方程無實(shí)數(shù)根,此時(shí)點(diǎn)P不存在.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的公式法和求根公式,需要了解要用公式解方程,首先化成一般式.調(diào)整系數(shù)隨其后,使其成為最簡(jiǎn)比.確定參數(shù)abc,計(jì)算方程判別式.判別式值與零比,有無實(shí)根便得知.有實(shí)根可套公式,沒有實(shí)根要告之;根的判別式△=b2-4ac,這里可以分為3種情況:1、當(dāng)△>0時(shí),一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2、當(dāng)△=0時(shí),一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根3、當(dāng)△<0時(shí),一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根才能得出正確答案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,DE是BC的垂直平分線,DE交AC于點(diǎn)E,連接BE.若BE=9,BC=12,則cosC= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中.頂點(diǎn)為(﹣4,﹣1)的拋物線交y軸于點(diǎn)A(0,3),交x軸于B,C兩點(diǎn).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)已知點(diǎn)P是拋物線上位于B,C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),問:當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形ABPC的面積最大?并求出此時(shí)四邊形ABPC的面積.
(3)過點(diǎn)B作AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D,是否存在以點(diǎn)C為圓心且與線段BD和拋物線的對(duì)稱軸l同時(shí)相切的圓?若存在,求出圓的半徑;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形ABCD的頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合,點(diǎn)B在y軸的正半軸上,點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=(k>0,x>0)的圖象上,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,3).
(1)求k的值;
(2)若將菱形ABCD沿x軸正方向平移,當(dāng)菱形的頂點(diǎn)D落在函數(shù)y=(k>0,x>0)的圖象上時(shí),求菱形ABCD沿x軸正方向平移的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在第一象限內(nèi),點(diǎn)P(2,3),M(a,2)是雙曲線y=(k≠0)上的兩點(diǎn),PA⊥x軸于點(diǎn)A,MB⊥x軸于點(diǎn)B,PA與OM交于點(diǎn)C,則△OAC的面積為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀理解
拋物線y=x2上任意一點(diǎn)到點(diǎn)(0,1)的距離與到直線y=﹣1的距離相等,你可以利用這一性質(zhì)解決問題.
問題解決
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=kx+1與y軸交于C點(diǎn),與函數(shù)y=x2的圖象交于A,B兩點(diǎn),分別過A,B兩點(diǎn)作直線y=﹣1的垂線,交于E,F(xiàn)兩點(diǎn).
(1)寫出點(diǎn)C的坐標(biāo),并說明∠ECF=90°
(2)在△PEF中,M為EF中點(diǎn),P為動(dòng)點(diǎn).
①求證:PE2+PF2=2(PM2+EM2);
②已知PE=PF=3,以EF為一條對(duì)角線作平行四邊形CEDF,若1<PD<2,試求CP的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)(x>0)的圖象交矩形OABC的邊AB于點(diǎn)D,交邊BC于點(diǎn)E,且BE=2EC.若四邊形ODBE的面積為6,則k= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割為四個(gè)小矩形,EF與GH交于點(diǎn)P
(1)若AG=AE,證明:AF=AH;
(2)若矩形PFCH的面積,恰矩形AGPE面積的兩倍,試確定∠HAF的大小;
(3)若矩形EPHD的面積為 ,求Rt△GBF的周長(zhǎng).
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