【題目】閱讀理解
拋物線y=x2上任意一點(diǎn)到點(diǎn)(0,1)的距離與到直線y=﹣1的距離相等,你可以利用這一性質(zhì)解決問題.
問題解決
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=kx+1與y軸交于C點(diǎn),與函數(shù)y=x2的圖象交于A,B兩點(diǎn),分別過A,B兩點(diǎn)作直線y=﹣1的垂線,交于E,F(xiàn)兩點(diǎn).
(1)寫出點(diǎn)C的坐標(biāo),并說明∠ECF=90°
(2)在△PEF中,M為EF中點(diǎn),P為動(dòng)點(diǎn).
①求證:PE2+PF2=2(PM2+EM2);
②已知PE=PF=3,以EF為一條對角線作平行四邊形CEDF,若1<PD<2,試求CP的取值范圍.
【答案】
(1)
解:當(dāng)x=0時(shí),y=k0+1=1,
則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1).
根據(jù)題意可得:AC=AE,
∴∠AEC=∠ACE.
∵AE⊥EF,CO⊥EF,
∴AE∥CO,
∴∠AEC=∠OCE,
∴∠ACE=∠OCE.
同理可得:∠OCF=∠BCF.
∵∠ACE+∠OCE+∠OCF+∠BCF=180°,
∴2∠OCE+2∠OCF=180°,
∴∠OCE+∠OCF=90°,即∠ECF=90°
(2)
①過點(diǎn)P作PH⊥EF于H,
Ⅰ.若點(diǎn)H在線段EF上,如圖2①.
∵M(jìn)為EF中點(diǎn),
∴EM=FM=EF.
根據(jù)勾股定理可得:
PE2+PF2﹣2PM2=PH2+EH2+PH2+HF2﹣2PM2
=2PH2+EH2+HF2﹣2(PH2+MH2)
=EH2﹣MH2+HF2﹣MH2
=(EH+MH)(EH﹣MH)+(HF+MH)(HF﹣MH)
=EM(EH+MH)+MF(HF﹣MH)
=EM(EH+MH)+EM(HF﹣MH)
=EM(EH+MH+HF﹣MH)
=EMEF=2EM2,
∴PE2+PF2=2(PM2+EM2);
Ⅱ.若點(diǎn)H在線段EF的延長線(或反向延長線)上,如圖2②.
同理可得:PE2+PF2=2(PM2+EM2).
綜上所述:當(dāng)點(diǎn)H在直線EF上時(shí),都有PE2+PF2=2(PM2+EM2);
②連接CD、PM,如圖3.
∵∠ECF=90°,
∴CEDF是矩形,
∵M(jìn)是EF的中點(diǎn),
∴M是CD的中點(diǎn),且MC=EM.
由①中的結(jié)論可得:
在△PEF中,有PE2+PF2=2(PM2+EM2),
在△PCD中,有PC2+PD2=2(PM2+CM2).
∵M(jìn)C=EM,
∴PC2+PD2=PE2+PF2.
∵PE=PF=3,
∴PC2+PD2=18.
∵1<PD<2,
∴1<PD2<4,
∴1<18﹣PC2<4,
∴14<PC2<17.
∵PC>0,
∴<PC<.
【解析】(1)如圖1,只需令x=0,即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo).根據(jù)題意可得AC=AE,從而有∠AEC=∠ACE.易證AE∥CO,從而有∠AEC=∠OCE,即可得到∠ACE=∠OCE,同理可得∠OCF=∠BCF,然后利用平角的定義即可證到∠ECF=90°;
(2))①過點(diǎn)P作PH⊥EF于H,分點(diǎn)H在線段EF上(如圖2①)和點(diǎn)H在線段EF的延長線(或反向延長線)上(如圖2②)兩種情況討論,然后只需運(yùn)用勾股定理及平方差公式即可證到PE2+PF2﹣2PM2=2EM2 , 即PE2+PF2=2(PM2+EM2);
②連接CD,PM,如圖3.易證CEDF是矩形,從而得到M是CD的中點(diǎn),且MC=EM,然后根據(jù)①中的結(jié)論,可得:在△PEF中,有PE2+PF2=2(PM2+EM2),在△PCD中,有PC2+PD2=2(PM2+CM2).由MC=EM可得PC2+PD2=PE2+PF2 . 根據(jù)PE=PF=3可求得PC2+PD2=18.根據(jù)1<PD<2可得1<PD2<4,即1<18﹣PC2<4,從而可求出PC的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性:當(dāng)a>0時(shí),對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小),還要掌握勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在水平地面上豎立著一面墻AB,墻外有一盞路燈D.光線DC恰好通過墻的最高點(diǎn)B,且與地面形成37°角.墻在燈光下的影子為線段AC,并測得AC=5.5米.
(1)求墻AB的高度(結(jié)果精確到0.1米);(參考數(shù)據(jù):tan37°≈0.75,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80)
(2)如果要縮短影子AC的長度,同時(shí)不能改變墻的高度和位置,請你寫出兩種不同的方法
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=3,BC=5,點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)B、C都不重合),現(xiàn)將△PCD沿直線PD折疊,使點(diǎn)C落到點(diǎn)F處;過點(diǎn)P作∠BPF的角平分線交AB于點(diǎn)E.設(shè)BP=x,BE=y,則下列圖象中,能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是( 。
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】理解:數(shù)學(xué)興趣小組在探究如何求tan15°的值,經(jīng)過思考、討論、交流,得到以下思路:
思路一 如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,延長CB至點(diǎn)D,使BD=BA,連接AD.設(shè)AC=1,則BD=BA=2,BC=.tanD=tan15°===2﹣.
思路二 利用科普書上的和(差)角正切公式:tan(α±β)=.假設(shè)α=60°,β=45°代入差角正切公式:tan15°=tan(60°﹣45°)===2﹣.
思路三 在頂角為30°的等腰三角形中,作腰上的高也可以…
思路四 …
請解決下列問題(上述思路僅供參考).
(1)類比:求出tan75°的值;
(2)應(yīng)用:如圖2,某電視塔建在一座小山上,山高BC為30米,在地平面上有一點(diǎn)A,測得A,C兩點(diǎn)間距離為60米,從A測得電視塔的視角(∠CAD)為45°,求這座電視塔CD的高度;
(3)拓展:如圖3,直線y=x﹣1與雙曲線y=交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,將直線AB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)45°后,是否仍與雙曲線相交?若能,求出交點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為弘揚(yáng)“東亞文化”,某單位開展了“東亞文化之都”演講比賽,在安排1位女選手和3位男選手的出場順序時(shí),采用隨機(jī)抽簽方式.
(1)請直接寫出第一位出場是女選手的概率;
(2)請用畫樹狀圖或列表的方法表示第一、二位出場選手的所有等可能結(jié)果,并求出他們都是男選手的概率.
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【題目】已知實(shí)數(shù)a,b滿足a﹣b=1,a2﹣ab+2>0,當(dāng)1≤x≤2時(shí),函數(shù)y=(a≠0)的最大值與最小值之差是1,求a的值.
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【題目】如圖,點(diǎn)C、D分別在扇形AOB的半徑OA、OB的延長線上,且OA=3,AC=3 ﹣3,CD∥AB,并與弧AB相交于點(diǎn)M、N.
(1)求線段OD的長;
(2)若sin∠C= ,求弦MN的長;
(3)在(2)的條件下,求優(yōu)弧MEN的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:長寬比為:1(n為正整數(shù))的矩形稱為矩形.
下面,我們通過折疊的方式折出一個(gè)矩形,如圖①所示.
操作1:將正方形ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊,使折疊后的點(diǎn)C落在對角線BD上的點(diǎn)G處,折痕為BH.
操作2:將AD沿過點(diǎn)G的直線折疊,使點(diǎn)A,點(diǎn)D分別落在邊AB,CD上,折痕為EF.
則四邊形BCEF為矩形.
證明:設(shè)正方形ABCD的邊長為1,則BD==.
由折疊性質(zhì)可知BG=BC=1,∠AFE=∠BFE=90°,則四邊形BCEF為矩形.
∴∠A=∠BFE.
∴EF∥AD.
∴=,即=.
∴BF=.
∴BC:BF=1:=:1.
∴四邊形BCEF為矩形.
閱讀以上內(nèi)容,回答下列問題:
(1)在圖①中,所有與CH相等的線段是 ,tan∠HBC的值是 ;
(2)已知四邊形BCEF為矩形,模仿上述操作,得到四邊形BCMN,如圖②,求證:四邊形BCMN是矩形;
(3)將圖②中的矩形BCMN沿用(2)中的方式操作3次后,得到一個(gè)“矩形”,則n的值是 .
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