【題目】若兩條拋物線的頂點相同,則稱它們?yōu)?/span>友好拋物線,拋物線C1y1=﹣2x2+4x+2C2u2=﹣x2+mx+n友好拋物線

1)求拋物線C2的解析式.

2)點A是拋物線C2上在第一象限的動點,過AAQx軸,Q為垂足,求AQ+OQ的最大值.

3)設(shè)拋物線C2的頂點為C,點B的坐標為(﹣14),問在C2的對稱軸上是否存在點M,使線段MB繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MB′且點B′恰好落在拋物線C2上?若存在求出點M的坐標,不存在說明理由.

【答案】(1) u2=﹣x2+2x+3;(2) ;(3) (1,2)或(1,5).

【解析】試題分析:(1)先求得y1頂點坐標,然后依據(jù)兩個拋物線的頂點坐標相同可求得m、n的值;
(2)設(shè)A(a,-a2+2a+3).則OQ=x,AQ=-a2+2a+3,然后得到OQ+AQa的函數(shù)關(guān)系式,最后依據(jù)配方法可求得OQ+AQ的最值;
(3)連接BC,過點B′作B′D⊥CM,垂足為D.接下來證明△BCM≌△MDB′,由全等三角形的性質(zhì)得到BC=MD,CM=B′D,設(shè)點M的坐標為(1,a).則用含a的式子可表示出點B′的坐標,將點B′的坐標代入拋物線的解析式可求得a的值,從而得到點M的坐標.

試題解析:

(1)∵y1=﹣2x2+4x+2=﹣﹣2(x﹣1)2+4,

∴拋物線C1的頂點坐標為(1,4).

∵拋物線C1:與C2頂點相同,

=1,﹣1+m+n=4.

解得:m=2,n=3.

∴拋物線C2的解析式為u2=﹣x2+2x+3.

(2)如圖1所示:

設(shè)點A的坐標為(a,﹣a2+2a+3).

∵AQ=﹣a2+2a+3,OQ=a,

∴AQ+OQ=﹣a2+2a+3+a=﹣a2+3a+3=﹣(a﹣2+

∴當a=時,AQ+OQ有最大值,最大值為

(3)如圖2所示;連接BC,過點B′作B′D⊥CM,垂足為D.

∵B(﹣1,4),C(1,4),拋物線的對稱軸為x=1,

∴BC⊥CM,BC=2.

∵∠BMB′=90°,

∴∠BMC+∠B′MD=90°.

∵B′D⊥MC,

∴∠MB′D+∠B′MD=90°.

∴∠MB′D=∠BMC.

在△BCM和△MDB′中,

,

∴△BCM≌△MDB′

∴BC=MD,CM=B′D.

設(shè)點M的坐標為(1,a).則B′D=CM=4﹣a,MD=CB=2.

∴點B′的坐標為(a﹣3,a﹣2).

∴﹣(a﹣3)2+2(a﹣3)+3=a﹣2.

整理得:a27a﹣10=0.

解得a=2,或a=5.

當a=2時,M的坐標為(1,2),

當a=5時,M的坐標為(1,5).

綜上所述當點M的坐標為(1,2)或(1,5)時,B′恰好落在拋物線C2上.

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