Question

11．已知拋物線y=x²-（2m+1）x+m²+m-2（m是常數(shù)）．
（1）求證：無論m為何值，拋物線與x軸總有兩個交點；
（2）若拋物線與x軸兩交點分別為A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＞x₂），且AB=1+$\frac{m+1}{m-1}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先計算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義進(jìn)行證明；
（2）利用求根公式方程x²-（2m+1）x+m²+m-2=0得x₁=m+2，x₂=m-1，則AB=|x₁-x₂|=3，然后解方程1+$\frac{m+1}{m-1}$=3即可．

解答 （1）證明：∵△=（2m+1）²-4（m²+m-2）
=9＞0，
∴無論m為何值，拋物線與x軸總有兩個交點；
（2）解方程x²-（2m+1）x+m²+m-2=0得x₁=m+2，x₂=m-1，
∵AB=|x₁-x₂|=3
∵AB=1+$\frac{m+1}{m-1}$，
∴1+$\frac{m+1}{m-1}$=3，解得m=4，
經(jīng)檢驗x=4是分式方程的解，
∴m的值為4．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)（△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點）．