Question

【題目】已知：在梯形ABCD中，AD//BC，AC＝BC＝10，，點E在對角線AC上，且CE＝AD，BE的延長線與射線AD、射線CD分別相交于點F、G．設AD=x，△AEF的面積為y．

（1）求證：∠DCA＝∠EBC；

（2）如圖，當點G在線段CD上時，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

（3）如果△DFG是直角三角形，求△AEF的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），；（3）15或.

【解析】

（1）由AD與BC平行，得到一對內(nèi)錯角相等，再由AD=CE，AC=BC，利用SAS可得△DCA≌△ECB，由全等三角形的性質(zhì)可得結論；
（2）由AD與BC平行，得到三角形AEF與三角形CEB相似，由相似得比例表示出AF，過E作EH垂直于AF，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義表示出EH，進而表示出y與x的函數(shù)解析式，并求出x的范圍即可；
（3）分兩種情況考慮：①當∠FDG=90°時，如圖2所示，在直角三角形ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AD的長，即為x的值，代入求出y的值，即為三角形AEF面積；②當∠DGF=90°時，過E作EM⊥BC于點M，如圖3所示，由相似列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，進而求出y的值，即為三角形AEF面積．

解：（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ECB，
在△DCA和△ECB中，

，

∴△DCA≌△ECB（SAS），
∴∠DCA=∠EBC；
（2）∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CEB，

∴ ，即 ，

解得： ，

作EH⊥AF于H，如圖1所示，

，

∴ ,

，

，

∵點G在線段CD上，
∴AF≥AD，即 ，

∴，

∴ ，

∴y關于x的函數(shù)解析式為：，定義域為．

（3）（3）分兩種情況考慮：
①當∠FDG=90°時，如圖2所示：

在Rt△ADC中，，即 ，

∴ ；

②當∠DGF=90°時，過E作EM⊥BC于點M，如圖3所示，

由（1）得：CE=AD=x，
在Rt△EMC中，，，

∴，

∵∠GCE=∠GBC，∠EGC=∠CGB，
∴△CGE∽△BGC，

∴ ，即 ，

∵∠EBM=∠CBG，∠BME=∠BGC=90°，
∴△BME∽△BGC，

∴ ，即 ，

此時 ，

∴綜上，此時△AEF的面積為 或15．