【題目】綜合與實踐

問題情境:ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,ADBC于點D,點E是射線AD上的一個動點(不與點A重合)將線段AE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF,連接CF交線段AB于點G,交AD于點H、連接EG

特例分析:

(1)如圖1,當(dāng)點E與點D重合時,“智敏”小組提出如下問題,請你解答:

①求證:AF=CD

②用等式表示線段CGEG之間的數(shù)量關(guān)系為:_______;

拓展探究:

(2)如圖2,當(dāng)點E在線段AD的延長線上,且DE=AD時,“博!毙〗M發(fā)現(xiàn)CF=2EG.請你證明;

(3)如圖3,當(dāng)點E在線段AD的延長線上,且AE=AB時,的值為_______;

推廣應(yīng)用:

(4)當(dāng)點E在射線AD上運動時,,則的值為______用含m.n的式子表示)

【答案】(1)①見解析;②CG=2EG;(2)見解析;(3);(4)

【解析】

(1)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證得AD=CD,再證明AFGADG,即可證明結(jié)論;

②根據(jù)①得到BC=2AF,FG=GD,再證明AFGBCG,即可得到CG=2EG

(2)先證得四邊形ABEC為正方形,同理得AFGAEGAFGBCG,即可得證;

(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到,證得AFGBCG,即可求解;

(4) 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BC=2AD,繼而得到,由AFGBCG,即可求解.

(1)ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,ADBC于點D

AD=BD=CD=BC,∠BAD=CAD=45°,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:AF=AD,∠DAF=90°,

∴∠GAF=GAD=45°,

AFGADG中,

,

AFGADG

AF=AD,

AF=CD

CG=2EG,理由如下:

由①得:∠GAF=B=45°,AF=BC,

AFBC,2AF=BC,

AFGBCG

,

CG=2FG,

AFGADG,

FG=DG,即FG=EG,

CG=2EG;

(2) 連接EB、EC

∵∠BAC=90°,AB=ACADBC于點D,DE=AD,

DE=ADBD=CD,且AEBC,∠BAC=90°,

∴四邊形ABEC為正方形,

BC=AE,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:AF=AE,∠EAF=90°

∴∠GAF=GAE=45°,

AFGAEG中,

AFGAEG,

AF=AE=BC,FG= EG,

AFGBCG中,

,

AFGBCG,

FG= CG,

FG= CG= EG,

CF=2EG;

(3) 同理得:FG= EG,

ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,

,即

同理得:AFGBCG,

,

,

(4)同理可得:FG= EG,BC=2AD,AF=AE,

,

同理可得:AFGBCG

,

,

;

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