【題目】如圖,在矩形ABCD中,AD=acm,AB=bcm(a>b>4),半徑為2cm的⊙O在矩形內且與AB、AD均相切.現有動點P從A點出發(fā),在矩形邊上沿著A→B→C→D的方向勻速移動,當點P到達D點時停止移動;⊙O在矩形內部沿AD向右勻速平移,移動到與CD相切時立即沿原路按原速返回,當⊙O回到出發(fā)時的位置(即再次與AB相切)時停止移動.已知點P與⊙O同時開始移動,同時停止移動(即同時到達各自的終止位置).
(1)如圖①,點P從A→B→C→D,全程共移動了 cm(用含a、b的代數式表示);
(2)如圖①,已知點P從A點出發(fā),移動2s到達B點,繼續(xù)移動3s,到達BC的中點.若點P與⊙O的移動速度相等,求在這5s時間內圓心O移動的距離;
(3)如圖②,已知a=20,b=10.是否存在如下情形:當⊙O到達⊙O1的位置時(此時圓心O1在矩形對角線BD上),DP與⊙O1恰好相切?請說明理由.
【答案】(1)a+2b;(2)20cm;(3)存在,理由見解析.
【解析】
試題分析:(1)點P運動的路程等于(AB+BC+CD)的長度;(2)圓心移動的距離為2(a-4)cm,然后根據點P運動的路程等于圓心移動的距離以及點P繼續(xù)移動3s,到達BC的中點,即點P用3s移動了cm列出方程組從而求出a和b的長度,然后得出圓心移動的速度,從而求出圓心移動的距離;(3)設點P移動的速度為v1cm/s,⊙O移動的速度為v2cm/s,從而求出兩個速度的比值.設直線OO1與AB交于點E,與CD交于點F,⊙O1與AD相切于點G,得出△DO1G≌△DO1H,設BP=xcm,則DP=xcm,PC=(20-x)cm,根據Rt△PCD的勾股定理求出x的值,根據△BEO1∽△BAD得出EO1和OO1的長度,然后分當⊙O首次到達⊙O1的位置時,⊙O移動的距離為14cm以及當⊙O在返回途中到達⊙O1的位置時,⊙O移動的距離為18cm分別進行說明,得出答案.
試題解析:(1)a+2b.
(2)∵在整個運動過程中,點P移動的距離為cm,圓心O移動的距離為cm,
由題意,得①
∵點P移動2s到達B點,即點P用2s移動了bcm,
點P繼續(xù)移動3s,到達BC的中點,即點P用3s移動了cm. ∴.②
由①②解得 ∵點P移動的速度與⊙O 移動的速度相等,
∴⊙O 移動的速度為(cm/s). ∴這5s時間內圓心O移動的距離為5×4=20(cm).
(3)存在這種情形.
設點P移動的速度為v1cm/s,⊙O移動的速度為v2cm/s,
由題意,得.
如圖,設直線OO1與AB交于點E,與CD交于點F,⊙O1與AD相切于點G.
若PD與⊙O1相切,切點為H,則O1G=O1H. 易得△DO1G≌△DO1H,∴∠ADB=∠BDP.
∵BC∥AD,∴∠ADB=∠CBD. ∴∠BDP=∠CBD.∴BP=DP. 設BP=xcm,則DP=xcm,PC=(20-x)cm,
在Rt△PCD中,由勾股定理,可得,
即,解得.
∴此時點P移動的距離為(cm).
∵EF∥AD,∴△BEO1∽△BAD.
∴,即.
∴EO1=16cm.∴OO1=14cm.
①當⊙O首次到達⊙O1的位置時,⊙O移動的距離為14cm,∴此時點P與⊙O移動的速度比為.
∵, ∴此時PD與⊙O1不可能相切.
②當⊙O在返回途中到達⊙O1的位置時,⊙O移動的距離為2×(20-4)-14=18(cm),
∴此時點P與⊙O移動的速度比為. ∴此時PD與⊙O1恰好相切.
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,E是AB上一點,F是AD延長線上一點,且DF=BE.
(1)求證:CE=CF;
(2)若點G在AD上,且∠GCE=45°,則GE=BE+GD成立嗎?為什么?
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【題目】某校初一所有學生將在大禮堂內參加2017年“元旦聯歡晚會”,若每排坐30人,則有8人無座位;若每排坐31人,則空26個座位,則初一年級共有多少名學生?設大禮堂內共有x排座位,可列方程為______________________
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【題目】對x,y定義一種新運算T,規(guī)定:T(x,y)=ax+2by﹣1(其中a、b均為非零常數),這里等式右邊是通常的四則運算,例如:T(0,1)=a0+2b1﹣1=2b﹣1.
(1)已知T(1,﹣1)=﹣2,T(4,2)=3.
①求a,b的值;
②若關于m的不等式組恰好有2個整數解,求實數p的取值范圍;
(2)若T(x,y)=T(y,x)對任意實數x,y都成立(這里T(x,y)和T(y,x)均有意義),則a,b應滿足怎樣的關系式?
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【題目】已知代數式﹣3xm﹣1y3與5xym+n是同類項,那么m、n的值分別是( 。
A. m=2,n=﹣1 B. m=﹣2,n=﹣1 C. m=2,n=1 D. m=﹣2,n=1
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【題目】如圖,在△ABC中,D是BC邊上的一點,E是AD的中點,過點A作BC的平行線交CE的延長線于點F,且AF=BD,連接BF.
(1)求證D是BC的中點;
(2)如果AB=AC,試判斷四邊形AFBD是什么四邊形,并證明你的結論.
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