Question

【題目】如圖，PB為⊙O的切線，點B為切點，直線PO交⊙O于點E，F，過點B作PO的垂線BA，垂足為點D，交⊙O于點A，延長AO與⊙O交于點C，連接BC，AF，

（1）求證：直線PA為⊙O的切線；

（2）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OB，先由切線的性質得出∠OBP=90°，再證明△OPA≌△OPB，由對應角相等得出∠OAP=∠OBP=90°，即可得出結論；

（2）根據相似三角形對應邊成比例求得OD＝BC＝3，設AD＝x，再由tan∠F＝得FD＝2x，則OA＝OF＝2x﹣3，根據勾股定理得出方程，解方程求出x，求出AB、AC的長，即可求出cos∠ACB的值求出．

證明：（1）連接OB，

∵PB是⊙O的切線，

∴∠PBO＝90°，

∵OA＝OB，BA⊥PO于D，

∴AD＝BD，∠POA＝∠POB，

在△PAO和△PBO中，

∴△PAO≌△PBO（SAS），

∴∠PAO＝∠PBO＝90°，

∴OA⊥PA，

∴直線PA為⊙O的切線；

（2）∵OA＝OC，AD＝DB，

∴OD＝BC＝3，

設AD＝x，

∵tan∠F＝，

∴FD＝2x，則OA＝OF＝2x﹣3，

在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即（2x﹣3）2＝32+x2，

解得，x＝4，

則AD＝4，AB＝8，

∵AC是直徑

∴∠ABC＝90°

∴AC＝＝10

∴cos∠ACB＝＝=