Question

【題目】知識(shí)再現(xiàn)

如圖1，若點(diǎn)，在直線同側(cè)，，到的距離分別是3和2，，現(xiàn)在直線上找一點(diǎn)，使的值最小，做法如下：

作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與直線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)，線段的長(zhǎng)度即為的最小值，請(qǐng)你求出這個(gè)最小值．

實(shí)踐應(yīng)用

如圖2，菱形中，，點(diǎn)，，分別為線段，，上的任意一點(diǎn)，則的最小值為______；

拓展延伸

如圖3，在四邊形的對(duì)角線上找一點(diǎn)，使，保留作圖痕跡，不必寫出作法.

Answer 1

【答案】知識(shí)再現(xiàn): ;

實(shí)踐應(yīng)用：

拓展延伸：圖形見詳解

【解析】

知識(shí)再現(xiàn):根據(jù)對(duì)稱性和勾股定理即可解題,

實(shí)踐應(yīng)用：先根據(jù)四邊形ABCD是菱形可知，AD∥BC，由∠A＝120°可知∠B＝60°，作點(diǎn)P關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接P′Q，PC，則P′Q的長(zhǎng)即為PK＋QK的最小值，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，CP′⊥AB時(shí)PK＋QK的值最小，再在Rt△BCP′中利用銳角三角函數(shù)的定義求出P′C的長(zhǎng)即可．

拓展延伸：作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)，即可得出答案．

解：

知識(shí)再現(xiàn):

由對(duì)稱的性質(zhì)得到

∴AP+BP=

過點(diǎn)B作BD⊥AC于D,

∴AC=3,CD=2,AD=1,

在Rt△ADB中

在Rt△中

實(shí)踐應(yīng)用：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∵∠A＝120°，

∴∠B＝180°∠A＝180°120°＝60°，

如圖2中，作點(diǎn)P關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接P′Q，P′C，則P′Q的長(zhǎng)即為PK＋QK的最小值，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，CP′⊥AB時(shí)PK＋QK的值最小，

在Rt△BCP′中，

∵BC＝AB＝2，∠B＝60°，

∴P′Q＝CP′＝BCsinB＝2×＝

故答案為

拓展延伸：如圖3所示：作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接DE并延長(zhǎng)交AC于P即可．