Question

【題目】已知，如圖Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，Q從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到B，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，連接PQ，取PQ的中點(diǎn)O，連接OC，OB．

(1)若△ABC∽△APQ，求BQ的長；

(2)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑長_____；

(3)以O為圓心，OQ長為半徑作⊙O，當(dāng)⊙O與AB相切時(shí)，求△COB的面積．

Answer 1

【答案】(1)BQ=8.2cm；(2)5cm；(3)S△BOC＝.

【解析】

(1)根據(jù)得，從而得到的長即可求出的長；

（2）由點(diǎn)與點(diǎn)重合和點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，可以確定點(diǎn)的位置，再根據(jù)點(diǎn)位于上除端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)時(shí)，由點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)可知是的中位線，從而得到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是的 中位線，即線段，即可求得答案；

（3）連接，過點(diǎn)作 ，先證明得到 ，所以求得的值，且，再證明得到，求得的值，再根據(jù)即可求得答案；

解：(1)如圖1所示，

∵

∴

又∵點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，

∴

∵

∴ ，即

解之得：

則

(2)如圖2，

當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)O位于點(diǎn)E的位置，

當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)O位于點(diǎn)F的位置，

則EF是△APB的中位線，

∴EF∥AB，且EF＝AB＝5，

而當(dāng)點(diǎn)Q位于AB上除端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)時(shí)，

∵點(diǎn)O是PQ中點(diǎn)，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，

∴OF是△PBQ的中位線，

∴OF∥BQ，

∴點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段EF，

則點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑長是5cm；

故答案為：5cm．

(3)如圖3，連接 ，過點(diǎn)O作于點(diǎn)N，

∵⊙O與AB相切，

∴ ，即 ，

∵

∴

∴ ，即

解之得：

則

∵

∴

又∵

∴，

∴ ，即 ，

解之得:

則