【題目】如圖,把含30°角的三角板放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,∠AOB=90°,∠B=30°,OA=2,斜邊AB∥x軸,點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)上.
(1)求雙曲線(xiàn)的解析式;
(2)把三角板AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使得點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C落在x軸的負(fù)半軸上的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段為AD,試判斷點(diǎn)D是否在雙曲線(xiàn)上?請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)雙曲線(xiàn)的解析式為y=-;(2)∴點(diǎn)D在雙曲線(xiàn)上.理由見(jiàn)試題解析。
【解析】
試題分析:(1)如圖,先求出∠AOE=30°,再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出AE和OE,從而得到A點(diǎn)坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式;
(2)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=AO,∠CAO=∠BAD,則可判斷△AOC為等邊三角形,得到∠CAO=∠BAD=60°,于是可判斷點(diǎn)D在A(yíng)C的延長(zhǎng)線(xiàn)上,然后通過(guò)證明點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)得到點(diǎn)D是在雙曲線(xiàn)上.
試題解析:(1)設(shè)AB與y軸相交于點(diǎn)E.∵AB∥x軸,∴∠AEO=90°,
在Rt△AEO中,∠A=90°﹣30°=60°,OE=OA60°=2×=,AE=OA°=2×=1.
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,),設(shè)雙曲線(xiàn)的解析式為y=(k≠0),代入(-1,)可得k=,
∴雙曲線(xiàn)的解析式為y=;
(2)點(diǎn)D是在雙曲線(xiàn)上.理由如下:∵AB∥x軸,∴∠AOC=∠BAO=60°,∵△ACD是由△AOB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到的,∴AO=AC,AB=AD,∴△AOC是等邊三角形,∴∠CAO=60°,即旋轉(zhuǎn)角∠BAD=∠CAO=60°,
又∠BAO=60°,∴點(diǎn)O在A(yíng)D上,在Rt△AOB中,∠B=30°,AB=2AO,∴AD=2AO,AO=OD,
∴點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱(chēng).∴點(diǎn)D在雙曲線(xiàn)上.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:拋物線(xiàn)y=x2+(2m﹣1)x+m2﹣1經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),且當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而減。
(1)求拋物線(xiàn)的解析式,并寫(xiě)出y<0時(shí),對(duì)應(yīng)x的取值范圍;
(2)設(shè)點(diǎn)A是該拋物線(xiàn)上位于x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)D,再作AB⊥x軸于點(diǎn)B,DC⊥x軸于點(diǎn)C.
①當(dāng)BC=1時(shí),直接寫(xiě)出矩形ABCD的周長(zhǎng);
②設(shè)動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,b),將矩形ABCD的周長(zhǎng)L表示為a的函數(shù)并寫(xiě)出自變量的取值范圍,判斷周長(zhǎng)是否存在最大值?如果存在,求出這個(gè)最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一個(gè)被等分成了3個(gè)相同扇形的圓形轉(zhuǎn)盤(pán),3個(gè)扇形分別標(biāo)有數(shù)字1、3、6,指針的位置固定,轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)后任其自由停止,其中的某個(gè)扇形會(huì)恰好停止在指針?biāo)傅奈恢茫ㄖ羔樦赶騼蓚(gè)扇形的交線(xiàn)時(shí),重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)).
(1)請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)形圖或列表的方法(只選其中一種),表示出分別轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)兩次轉(zhuǎn)盤(pán)自由停止后,指針?biāo)干刃螖?shù)字的所有結(jié)果;
(2)求分別轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)兩次轉(zhuǎn)盤(pán)自由停止后,指針?biāo)干刃蔚臄?shù)字之和的算術(shù)平方根為無(wú)理數(shù)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若多項(xiàng)式x2+ax+b分解因式的結(jié)果(x﹣2)(x+3),則a,b的值分別是( )
A.a=1,b=﹣6
B.a=5,b=6
C.a=1,b=6
D.a=5,b=﹣6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果在比例尺為1:1000000的地圖上,A、B兩地的圖上距離是5.8cm,那么A、B兩地的實(shí)際距離是_____km.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知⊙O 的半徑是 4,OP=3,則點(diǎn) P 與⊙O 的位置關(guān)系是( )
A. 點(diǎn) P 在⊙O 外 B. 點(diǎn) P 在⊙O 上 C. 點(diǎn) P 在⊙O 內(nèi) D. 不能確定
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列是四個(gè)同學(xué)解方程2(x-2)-3(4x-1)=9的去括號(hào)的過(guò)程,其中正確的是( )
A. 2x-4-12x+3=9
B. 2x-4-12x-3=9
C. 2x-4-12x+1=9
D. 2x-2-12x+1=9
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將一副直角三角板如圖①擺放,能夠發(fā)現(xiàn)等腰直角三角板ABC的斜邊與含30°角的直角三角板DEF的長(zhǎng)直角邊DE重合.DF=8.
(1)若P是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PA=DF時(shí),求此時(shí)∠PAB的度數(shù);
(2)將圖①中的等腰直角三角板ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°,點(diǎn)C落在BF上,AC與BD交于點(diǎn)O,連接CD,如圖②.
①求證:AD∥BF;
②若P是BC的中點(diǎn),連接FP,將等腰直角三角板ABC繞點(diǎn)B繼續(xù)旋轉(zhuǎn),當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α= 時(shí),F(xiàn)P長(zhǎng)度最大,最大值為 (直接寫(xiě)出答案即可).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知等邊△ABC,AB=12,以AB為直徑的半圓與BC邊交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC,垂足為F,過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB,垂足為G,連結(jié)GD.
(1)求證:DF是⊙O的切線(xiàn);
(2)求FG的長(zhǎng);(3)求tan∠FGD的值.
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