Question

17．如圖，拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為x=-1，該拋物線與x軸交于A、B兩點，且A點坐標為（1，0），交y軸于C（0，3），設拋物線的頂點為D．
（1）求該拋物線的解析式與頂點D的坐標．
（2）試判斷△BCD的形狀，并予證明．
（3）在對稱軸上是否存在一點P，使得△ACP為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據拋物線的對稱性得到點B的坐標為（-3，0），故設拋物線為兩點式方程y=a（x-1）（x+3），把點C的坐標代入即可求得a的值；利用配方法將拋物線解析式轉化為頂點式，即可得到頂點D的坐標；
（2）過D作DT⊥y軸于T，則可求得∠DCT=45°，∠BCO=45°，則可判斷△BCD的形狀利；
（3）可設出P（-1，t），則可分別表示出AP、CP、AC的長度，分AP=CP、AP=AC和CP=AC三種情況分別可得到關于t的方程，可求得P點坐標．

解答 解：
（1）點A（1，0）關于x=-1的對稱點B（-3，0），
設過A（1，0）、B（-3，0）的拋物線為y=a（x-1）（x+3），
該拋物線又過C（0，3）有：3=-3a，解得a=-1
即y=-（x+1）²+4=-x²-2x+3，頂點D為（-1，4）；
（2）△DCB為直角三角形，
理由如下：
過D點，作DT⊥y軸于T，如圖1，
則T（0，4）．
∵DT=TC=1，
∴△DTC為等腰直角三角形，
∴∠DCT=45°，
同理可證∠BCO=45°，
∴∠DCB=90°，
∴△DCB為直角三角形；
（3）設P（-1，t），
∵A（1，0），C（0，3），
∴AP²=（1+1）²+t²=4+t²，CP²=1²+（t-3）²=t²-6t+10，AC²=1²+3²=10，
∵△APC為等腰三角形，
∴有AP=CP、AP=AC和CP=AC三種情況，
①當AP=CP時，則有AP²=CP²，即4+t²=t²-6t+10，解得t=1，此時P（-1，1）；
②當AP=AC時，則有AP²=AC²，即4+t²=10，解得t=±$\sqrt{6}$，此時P（-1，$\sqrt{6}$）或（-1，-$\sqrt{6}$）；
③當CP=AC時，則有CP²=AC²，即t²-6t+10=10，解得t=0或t=6，此時P（-1，0）或P（-1，6）；
綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（-1，1）或（-1，$\sqrt{6}$）或（-1，-$\sqrt{6}$）或（-1，0）或（-1，6）．

點評 本題考查了二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、直角三角形的判定、等腰三角形的性質、勾股定理、方程思想及分類討論思想等知識點．在（1）中注意拋物線解析式三種形式的靈活運用，在（2）中證得∠DCB為直角是解題的關鍵，在（3）中用P點的坐標分別表示出AP、CP的長是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．