Question

9．如圖，A（-4，$\frac{1}{2}$）、B（-1，2）是反比例函數(shù)y=$\frac{a}{x}$與一次函數(shù)y=kx+b的圖象在第二象限內(nèi)的兩個交點，AM⊥x軸于M，BN⊥y軸于N，
（1）求一次函數(shù)的解析式及a的值；
（2）P是線段AB上一點，連接PM、PN，若△PAM和△PBN的面積相等，求△OPM的面積．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點坐標(biāo)代入y=kx+b可得到k、b的方程，解方程求出k、b即可得到一次函數(shù)解析式；然后把A點坐標(biāo)代入y=$\frac{a}{x}$可得到a的值；
（2）先確定M（-4，0），N（0，2），利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，設(shè)P（x，$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$）（-4＜x＜-1），利用三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•（x+4）=$\frac{1}{2}$•1•（2-$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$），然后解方程求出x即可得到P點坐標(biāo)，再利用三角形面積公式計算△OPM的面積．

解答 解：（1）把A（-4，$\frac{1}{2}$）代入y=$\frac{a}{x}$得a=-4×$\frac{1}{2}$=-2，
所以反比例函數(shù)解析式為y=-$\frac{2}{x}$；
把A（-4，$\frac{1}{2}$）、B（-1，2）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=\frac{1}{2}}\\{-k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
所以一次函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$；
（2）∵AM⊥x軸于M，BN⊥y軸于N，
∴M（-4，0），N（0，2），
設(shè)P（x，$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$）（-4＜x＜-1），
∵△PAM和△PBN的面積相等，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•（x+4）=$\frac{1}{2}$•1•（2-$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$），解得x=-$\frac{5}{2}$，
∴P（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$），
∴△OPM的面積=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{5}{4}$=$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．