Question

【題目】已知點(diǎn)在拋物線：（，均為常數(shù)且）上，交軸于點(diǎn)，連接．

（1）用表示，并求的對(duì)稱軸；

（2）當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，-7）時(shí)，求此時(shí)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）橫，縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)如圖，當(dāng)時(shí)，若在點(diǎn)，之間的部分與線段所圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）恰有5個(gè)整點(diǎn)，求的取值范圍：

（4）點(diǎn)，是上的兩點(diǎn)，若，當(dāng)時(shí)，均有，直接寫(xiě)出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2），；（3）；（4）或或．

【解析】

（1）將點(diǎn)代入拋物線的解析式可得；根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸的計(jì)算公式即可得；

（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，將點(diǎn)代入求解即可得此時(shí)的表達(dá)式，再將其化為頂點(diǎn)式即可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再根據(jù)整點(diǎn)的定義求出這五個(gè)整點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可得L的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)需滿足的條件，求解即可得；

（4）根據(jù)a的取值分和兩種情況，然后分別利用二次函數(shù)的增減性和對(duì)稱性求解即可得．

（1）點(diǎn)在拋物線：

整理得：

的對(duì)稱軸為

即的對(duì)稱軸為；

（2）由（1）得

當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，有，解得

則此時(shí)的表達(dá)式為

將化為頂點(diǎn)式得

則此時(shí)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；

（3）由（1）得

由的圖象可知，經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，開(kāi)口向下

則所求區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)即為對(duì)稱軸上的整點(diǎn)

因此，當(dāng)該區(qū)域中恰有5個(gè)整點(diǎn)時(shí)，這五個(gè)整點(diǎn)坐標(biāo)為

由此可得，的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)應(yīng)滿足：

解得；

（4）由（1）得，其對(duì)稱軸為

則和時(shí)的函數(shù)值相等

由題意，分以下兩種情況：

①當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上

二次函數(shù)的增減性為：當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減�。划�(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大

要使，時(shí)，均有

則或

即或

②當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下

二次函數(shù)的增減性為：當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小

要使，時(shí)，均有

則

解得

綜上，所求的t的取值范圍為或或．