Question

如圖，甲、乙兩人分別從A(1，)、B(6，0)兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行駛，th后，甲到達(dá)M點(diǎn)，乙到達(dá)N點(diǎn)．

(1)請說明甲、乙兩人到達(dá)O點(diǎn)前，MN與AB不可能平行．

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△OMN∽△OBA？

(3)甲、乙兩人之間的距離為MN的長，設(shè)s＝MN²，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求甲、乙兩人之間距離的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：

相似三角形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；勾股定理；解直角三角形。

分析：

(1)用反證法說明．根據(jù)已知條件分別表示相關(guān)線段的長度，根據(jù)三角形相似得比例式說明；

(2)根據(jù)兩個點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)的時(shí)間不同分段討論解答；

(3)在不同的時(shí)間段運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)分別求解析式，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解答問題．

解答：

解：(1)因?yàn)?i>A坐標(biāo)為(1，)，

所以OA＝2，∠AOB＝60°．

因?yàn)?i>OM＝2－4t，ON＝6－4t，

當(dāng)＝時(shí)，解得t＝0，

即在甲、乙兩人到達(dá)O點(diǎn)前，只有當(dāng)t＝0時(shí)，△OMN∽△OAB，所以MN與AB不可能平行；

(2)因?yàn)榧走_(dá)到O點(diǎn)時(shí)間為t＝，乙達(dá)到O點(diǎn)的時(shí)間為t＝＝，所以甲先到達(dá)O點(diǎn)，所以t＝或t＝時(shí)，O、M、N三點(diǎn)不能連接成三角形，

①當(dāng)t＜時(shí)，如果△OMN∽△OAB，則有＝，解得t＝2＞，所以，△OMN不可能相似△OBA；

②當(dāng)＜t＜時(shí)，∠MON＞∠AOB，顯然△OMN不相似△OBA；

③當(dāng)t＞時(shí)，＝，解得t＝2＞，所以當(dāng)t＝2時(shí)，△OMN∽△OBA；

(3)①當(dāng)t≤時(shí)，如圖1，過點(diǎn)M作MH⊥x軸，垂足為H，

在Rt△MOH中，因?yàn)椤?i>AOB＝60°，

所以MH＝OMsin60°＝(2－4t)×＝(1－2t)，

OH＝0Mcos60°＝(2－4t)×＝1－2t，

所以NH＝(6－4t)－(1－2t)＝5－2t，

所以s＝[(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28

②當(dāng)＜t≤時(shí)，如圖2，作MH⊥x軸，垂足為H，

在Rt△MNH中，MH＝(4t－2)＝(2t－1)，NH＝(4t－2)＋(6－4t)＝5－2t，

所以s＝[(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28

當(dāng)t＞時(shí)，同理可得s＝[(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28，

綜上所述，s＝[(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28．

因?yàn)?i>s＝16t2－32t＋28＝16(t－1)2＋12，

所以當(dāng)t＝1時(shí)，s有最小值為12，所以甲、乙兩人距離最小值為2km．

點(diǎn)評：

此題綜合考查了坐標(biāo)與圖形、相似三角形的判定與性質(zhì)、分類討論數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用等知識點(diǎn)，難度較大．