Question

（2012•連云港）如圖，甲、乙兩人分別從A（1，

3

）、B（6，0）兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行駛，th后，甲到達(dá)M點(diǎn)，乙到達(dá)N點(diǎn)．
（1）請(qǐng)說明甲、乙兩人到達(dá)O點(diǎn)前，MN與AB不可能平行．
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△OMN∽△OBA？
（3）甲、乙兩人之間的距離為MN的長，設(shè)s=MN²，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求甲、乙兩人之間距離的最小值．

Answer 1

分析：（1）用反證法說明．根據(jù)已知條件分別表示相關(guān)線段的長度，根據(jù)三角形相似得比例式說明；
（2）根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)的時(shí)間不同分段討論解答；
（3）在不同的時(shí)間段運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)分別求解析式，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解答問題．

解答：證明：（1）因?yàn)锳坐標(biāo)為（1，

3

），
所以O(shè)A=2，∠AOB=60°．
因?yàn)镺M=2-4t，ON=6-4t，
當(dāng)

2-4t

2

=

6-4t

6

時(shí)，解得t=0，
即在甲、乙兩人到達(dá)O點(diǎn)前，只有當(dāng)t=0時(shí)，△OMN∽△OAB，所以MN與AB不可能平行；

（2）因?yàn)榧走_(dá)到O點(diǎn)時(shí)間為t=

1

2

，乙達(dá)到O點(diǎn)的時(shí)間為t=

6

4

=

3

2

，所以甲先到達(dá)O點(diǎn)，所以t=

1

2

或t=

3

2

時(shí)，O、M、N三點(diǎn)不能連接成三角形，
①當(dāng)t≤

1

2

時(shí)，如果△OMN∽△OBA，則有

2-4t

6

=

6-4t

2

，解得t=2＞

1

2

，所以，△OMN不可能相似△OBA；
②當(dāng)

1

2

＜t≤

3

2

時(shí)，∠MON＞∠AOB，顯然△OMN不相似△OBA；
③當(dāng)t＞

3

2

時(shí)，

4t-2

6

=

4t-6

2

，解得t=2＞

3

2

，所以當(dāng)t=2時(shí)，△OMN∽△OBA；

（3）①當(dāng)t≤

1

2

時(shí)，如圖1，過點(diǎn)M作MH⊥x軸，垂足為H，
在Rt△MOH中，因?yàn)椤螦OB=60°，
所以MH=OMsin60°=（2-4t）×

3

2

=

3

（1-2t），
OH=0Mcos60°=（2-4t）×

1

2

=1-2t，
所以NH=（6-4t）-（1-2t）=5-2t，
所以s=[

3

（1-2t）]²+（5-2t）²=16t²-32t+28
②當(dāng)

1

2

＜t≤

3

2

時(shí)，如圖2，作MH⊥x軸，垂足為H，
在Rt△MOH中，MH=

3

2

（4t-2）=

3

（2t-1），NH=

1

2

（4t-2）+（6-4t）=5-2t，
所以s=[

3

（1-2t）]²+（5-2t）²=16t²-32t+28
③當(dāng)t＞

3

2

時(shí)，同理可得s=[

3

（1-2t）]²+（5-2t）²=16t²-32t+28，
綜上所述，s=[

3

（1-2t）]²+（5-2t）²=16t²-32t+28．
因?yàn)閟=16t²-32t+28=16（t-1）²+12，
所以當(dāng)t=1時(shí)，s有最小值為12，所以甲、乙兩人距離最小值為2

3

km．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了坐標(biāo)與圖形、相似三角形的判定與性質(zhì)、分類討論數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，難度較大．