Question

【題目】在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，點D是線段BC的中點，∠EDF＝120°，DE與線段AB相交于點E，DF與線段AC相交于點F．

（1）如圖1，若DF⊥AC，垂足為F，AB＝4，求BE的長；

（2）如圖2，將（1）中的∠EDF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于點F．

求證：BE+CF＝AB．

Answer 1

【答案】（1）BE＝1；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由是等邊三角形求出BC的長，再根據(jù)，求出，從而得出是有一個銳角等于的直角三角形，即可求得BE；

（2）過D作與M，作于N，由題（1）可知，又由題意知，繞D順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到，所以，可證，則有，最后結(jié)合BM、ME、BE以及CN、NF、CF間的關(guān)系即可求證.

（1）如圖1，由題意得，是等邊三角形，

，

點D是線段BC的中點，

，

，即，

，

又，

，

，

在中，；

（2）如圖2，過D作于M，作于N，

由（1）可知：，

，

，

由題意知，繞D順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到，

（旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)角相等），

，

，

，

即得證.