Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B(－1，0)，一次函數(shù)y＝－x＋5的圖象與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，C兩點(diǎn)，二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)B.

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)點(diǎn)P是該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，求△APC的面積；

(3)如果點(diǎn)Q在線段AC上，且△ABC與△AOQ相似，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)y＝－x2＋4x＋5；(2) 15；(3) Q點(diǎn)坐標(biāo)為或(2，3)

【解析】(1)、根據(jù)一次函數(shù)得出點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式；(2)、首先根據(jù)二次函數(shù)得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)P作PD∥y軸交AC于點(diǎn)D，將三角形分成兩個(gè)三角形來(lái)進(jìn)行計(jì)算；(3)、根據(jù)三角形相似，分兩種情況來(lái)進(jìn)行計(jì)算，分別得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

(1)∵一次函數(shù)y＝－x＋5的圖象與x軸，y軸分別交于A，C兩點(diǎn)，

∴A(5，0)，C(0，5)．∵二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)B，

∴b＝4，c＝5，∴二次函數(shù)的解析式為y＝－x2＋4x＋5；

(2)∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴P(2，9)．

過(guò)點(diǎn)P作PD∥y軸交AC于點(diǎn)D，如答圖①，則D(2，3)．

∴S△APC＝ (xA－xC)(yP－yD)＝15；

(3)①若△ABC∽△AOQ，如答圖②，此時(shí)，OQ∥BC.

由B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)可求得BC的解析式為y＝5x＋5. ∴OQ的解析式為y＝5x.

由解得∴Q；

②若△ABC∽△AQO，如答圖③，此時(shí)，＝.

∵AB＝6，AO＝5，AC＝5，∴AQ＝3，∴Q(2，3)．

綜上所述，滿(mǎn)足要求的Q點(diǎn)坐標(biāo)為或(2，3)．