Question

【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+x+2=0．

（1）求證：當(dāng)a＜0時，方程ax2+x+2=0一定有兩個不等的實數(shù)根；

（2）若代數(shù)式﹣x2+x+2的值為正整數(shù)，且x為整數(shù)時，求x的值；

（3）當(dāng)a=a1時，拋物線y=ax2+x+2與x軸的正半軸相交于點(diǎn)M（m，0）；當(dāng)a=a2時，拋物線y=ax2+x+2與x軸的正半軸相交于點(diǎn)N（n，0）；若點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊，試比較a1與a2的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）x的值是0或1；（3）a1＜a2.

【解析】

（1）求出b2﹣4ac的值，根據(jù)正負(fù)即可判斷；

（2）求出原式=﹣（x2﹣x﹣2）的范圍確定其整數(shù)為1或2，算出﹣x2+x+2=1和﹣x2+x+2=2的解即可；

（3）把a=a1，a=a1代入求出其值，求出a1﹣a2的值即可．

（1）△=1﹣8a．

∵a＜0，∴﹣8a＞0即：△＞0，∴方程ax2+x+2=0一定有兩個不等的實數(shù)根．

（2）原式=﹣（x2﹣x﹣2）=

∵不論x為何值，﹣（x）2≤0，∴原式=﹣（x）2．

∵代數(shù)式﹣x2+x+2的值為正整數(shù)，∴代數(shù)式﹣x2+x+2的值為1或2．

①當(dāng)﹣x2+x+2=1時，這時x的值不是整數(shù)，不符合題意，舍去；

②當(dāng)﹣x2+x+2=2時，解得：x=0或1．

答：x的值是0或1．

（3）∵當(dāng)a=a1時，拋物線y=ax2+x+2與x軸的正半軸相交于點(diǎn)M（m，0），∴0=a1m2+m+2①．

∵當(dāng)a=a2時，拋物線y=ax2+x+2與x軸的正半軸相交于點(diǎn)N（n，0），∴0=a2n2+n+2②，∴，∴．

∵點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊，且M、N均在x軸正半軸，∴m＞0，n＞0，m＜n，∴mn+2m+2n＞0，m﹣n＜0，m2n2＞0，∴a1﹣a2，∴a1＜a2．