【題目】如圖,在正方形中,點上一動點(不與重合),對角線、相交于點,過點分別作、的垂線,分別交、于點,交于點、.下列結(jié)論:①;②;③;④;⑤當時,點的中點.

其中正確的結(jié)論有_____

【答案】①②③⑤

【解析】

①根據(jù)正方形的每一條對角線平分一組對角可得∠PAE=MAE=45°,然后利用角邊角證明APEAME全等;
②根據(jù)全等三角形對應邊相等可得PE=EM=PM,同理,FP=FN=NP,證出四邊形PEOF是矩形,得出PF=OE,證得APE為等腰直角三角形,得出AE=PE,PE+PF=OA,即可得到PM+PN=AC;
③根據(jù)矩形的性質(zhì)可得PF=OE,再利用勾股定理即可得到PE2+PF2=PO2;
④判斷出POF不一定等腰直角三角形,BNF是等腰直角三角形,從而確定出兩三角形不一定相似;
⑤證出APMBPN以及APEBPF都是等腰直角三角形,從而得出結(jié)論.

解:①∵四邊形是正方形,

,

,

,

中,

,

故①正確;

②∵,

,

同理,

∵正方形中,,

又∵,

,且

∴四邊形是矩形.

,

∵在中,,,

為等腰直角三角形,

,

又∵,,,

故②正確;

③∵四邊形是矩形,

,

在直角中,,

,

故③正確;

④∵,

.

是等腰直角三角形,而不一定是,

不一定相似,

故④錯誤;

⑤∵,

,

是等腰直角三角形,

同理,是等腰直角三角形,

時,是等腰直角三角形.

又∵都是等腰直角三角形,

,即的中點,

故⑤正確;

故答案為:①②③⑤.

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