如圖1,在直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在y軸正半軸上,二次函數(shù)y=ax2+x +c的圖象F交x軸于B、C兩點(diǎn),交y軸于M點(diǎn),其中B(-3,0),M(0,-1)。已知AM=BC。
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)證明:在拋物線F上存在點(diǎn)D,使A、B、C、D四點(diǎn)連接而成的四邊形恰好是平行四邊形,并請求出直線BD的解析式;
(3)在(2)的條件下,設(shè)直線l過D且分別交直線BA、BC于不同的P、Q兩點(diǎn),AC、BD相交于N。
①若直線l⊥BD,如圖1所示,試求的值;
②若l為滿足條件的任意直線。如圖2所示,①中的結(jié)論還成立嗎?若成立,證明你的猜想;若不成立,請舉出反例。
解:(1)∵二次函數(shù)y=ax2+x +c的圖象經(jīng)過點(diǎn)B(-3,0),M(0,-1),
∴ ,解得。
∴二次函數(shù)的解析式為:。
(2)證明:在中,令y=0,得,解得x1=-3,x2=2。
∴C(2,0),∴BC=5。
令x=0,得y=-1,∴M(0,-1),OM=1。
又AM=BC,∴OA=AM-OM=4!郃(0,4)。
設(shè)AD∥x軸,交拋物線于點(diǎn)D,如圖1所示,
則,解得x1=5,x2=-6(位于第二象限,舍去)。
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(5,4)!郃D=BC=5。
又∵AD∥BC,∴四邊形ABCD為平行四邊形,即在拋物線F上存在點(diǎn)D,使A、B、C、D四點(diǎn)連接而成的四邊形恰好是平行四邊形。
設(shè)直線BD解析式為:y=kx+b,∵B(-3,0),D(5,4),
∴ ,解得:。
∴直線BD解析式為:。
(3)在Rt△AOB中,,
又AD=BC=5,∴▱ABCD是菱形。
①若直線l⊥BD,如圖1所示,
∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD!郃C∥直線l。∴。
∵BA=BC=5,∴BP=BQ=10。
∴。
②若l為滿足條件的任意直線,如圖2所示,此時(shí)①中的結(jié)論依然成立,理由如下:
∵AD∥BC,CD∥AB,∴△PAD∽△DCQ。∴。
∴AP•CQ=AD•CD=5×5=25。
∴
。
【解析】(1)利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式。
(2)首先求出D點(diǎn)的坐標(biāo),可得AD=BC且AD∥BC,所以四邊形ABCD是平行四邊形;再根據(jù)B、D點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式。
(3)本問的關(guān)鍵是判定平行四邊形ABCD是菱形。
①推出AC∥直線l,從而根據(jù)平行線間的比例線段關(guān)系,求出BP、CQ的長度,計(jì)算出。
②判定△PAD∽△DCQ,得到AP•CQ=25,利用這個(gè)關(guān)系式對進(jìn)行分式的化簡求值,結(jié)論為 不變。
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