【題目】如圖,直線y=x+c與x軸交于點A(﹣4,0),與y軸交于點C,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A,C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)已知點P是拋物線上的一個動點,并且點P在第二象限內(nèi),過動點P作PE⊥x軸于點E,交線段AC于點D.
①如圖1,過D作DF⊥y軸于點F,交拋物線于M,N兩點(點M位于點N的左側),連接EF,當線段EF的長度最短時,求點P,M,N的坐標;
②如圖2,連接CD,若以C,P,D為頂點的三角形與△ADE相似,求△CPD的面積.
【答案】(1)y=﹣x2﹣3x+4;(2)①點P坐標為(﹣2,6),點M、N的坐標分別為(,2)、(,2);②△CPD的面積為或4.
【解析】
(1)將點A的坐標分別代入直線和拋物線表達式,即可求解;
(2)①四邊形DEOF為矩形,故:EF=OD,當OD垂直于AC時,OD最小,點D為AC的中點,其坐標為(﹣2,2),即可求解;
②分△ADE∽△CDP、△ADE∽△PCD兩種情況,求解即可.
(1)將點A的坐標代入直線y=x+c得:0=﹣4+c,
解得:c=4,
將點A坐標代入拋物線表達式得:0=﹣16﹣4b+4,
解得:b=﹣3,
故拋物線的表達式為:y=﹣x2﹣3x+4,
故點A、C的坐標分別為(﹣4,0)、(0,4),
將A、C點坐標代入一次函數(shù)表達式y=kx+b得:
,解得,
則直線AC的表達式為:y=x+4;
(2)①∵四邊形DEOF為矩形,故:EF=OD,
當OD垂直于AC時,OD最小(即EF最。,
∵OA=OC,
∴點D為AC的中點,其坐標為(﹣2,2),
故點P坐標為(﹣2,6),
把點D縱坐標代入二次函數(shù)表達式得:﹣x2﹣3x+4=2,
解得:x=,
故點M、N的坐標分別為(,2)、(,2);
②當△ADE∽△CDP時,則∠CPD=90°,PC=PD,
則PC∥x軸,則點P的縱坐標為4,則點P坐標為(﹣3,4),
點D在直線AC:y=x+4上,則點D坐標為(﹣3,1),
則PD=4﹣1=3=PC,
則S△CPD=×PCPD=;
當△ADE∽△PDC時,
同理可得:S△CPD=×PDCH=4,
故:△CPD的面積為或4
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【題目】對于反比例函數(shù)y=(k≠0),下列所給的四個結論中,正確的是( 。
A. 若點(2,4)在其圖象上,則(﹣2,4)也在其圖象上
B. 當k>0時,y隨x的增大而減小
C. 過圖象上任一點P作x軸、y軸的垂線,垂足分別A、B,則矩形OAPB的面積為k
D. 反比例函數(shù)的圖象關于直線y=x和y=﹣x成軸對稱
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【題目】如圖,將函數(shù)y= (x-2)2+1的圖象沿y軸向上平移得到一條新函數(shù)的圖象,其中點A(1,m),B(4,n)平移后的對應點分別為點A′,B′,若曲線段AB掃過的面積為9(圖中的陰影部分),則新圖象的函數(shù)表達式是__________.
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【題目】(1)如圖是一個組合幾何體,右邊是它的兩種視圖,在右邊橫線上填寫出兩種視圖的名稱;
視圖 視圖
(2)根據(jù)兩種視圖中尺寸(單位:cm),計算這個組合幾何體的表面積.(π取3.14)
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=2.P是AB邊上一動點,PD⊥AC于點D,點E在P的右側,且PE=1,連結CE.P從點A出發(fā),沿AB方向運動,當E到達點B時,P停止運動.在整個運動過程中,圖中陰影部分面積S1+S2的大小變化情況是( )
A. 一直減小B. 一直不變C. 先減小后增大D. 先增大后減小
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,點P從A出發(fā)沿AB以3cm/s的速度向點B移動,一直到達點B為止;同時,點Q從點C出發(fā)沿以2cm/s的速度向點D移動.經(jīng)過多長時間P、Q兩點的距離是10?
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【題目】閱讀材料:各類方程的解法
求解一元一次方程,根據(jù)等式的基本性質(zhì),把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式.求解二元一次方程組,把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解;類似的,求解三元一次方程組,把它轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組.求解一元二次方程,把它轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解.求解分式方程,把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解,由于“去分母”可能產(chǎn)生增根,所以解分式方程必須檢驗.各類方程的解法不盡相同,但是它們有一個共同的基本數(shù)學思想轉(zhuǎn)化,把未知轉(zhuǎn)化為已知.
用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想,我們還可以解一些新的方程.例如,一元三次方程x3+x2-2x=0,可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為x(x2+x-2)=0,解方程x=0和x2+x-2=0,可得方程x3+x2-2x=0的解.
(1)問題:方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ,x3= ;
(2)拓展:用“轉(zhuǎn)化”思想求方程的解;
(3)應用:如圖,已知矩形草坪ABCD的長AD=8m,寬AB=3m,小華把一根長為10m的繩子的一端固定在點B,沿草坪邊沿BA,AD走到點P處,把長繩PB段拉直并固定在點P,然后沿草坪邊沿PD、DC走到點C處,把長繩剩下的一段拉直,長繩的另一端恰好落在點C.求AP的長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,將坐標原點O沿x軸向左平移2個單位長度得到點A,過點A作y軸的平行線交反比例函數(shù)y=的圖象于點B,AB=.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)若P(x1,y1)、Q(x2,y2)是該反比例函數(shù)圖象上的兩點,且x1<x2時,y1>y2,指出點P、Q各位于哪個象限?并簡要說明理由.
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【題目】如圖,已知△ABC中,∠ACB=90°,D是邊AB的中點,P是邊AC上一動點,BP與CD相交于點E.
(1)如果BC=6,AC=8,且P為AC的中點,求線段BE的長;
(2)聯(lián)結PD,如果PD⊥AB,且CE=2,ED=3,求cosA的值;
(3)聯(lián)結PD,如果BP2=2CD2,且CE=2,ED=3,求線段PD的長.
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