【題目】在△ABC中,AB=AC,在BC邊上有兩動點D、E,滿足2∠DAE=∠BAC,將△AEC繞A旋轉(zhuǎn),使得AC與AB重合,點E落到點E’.
(1)求證:∠DAE’=∠DAE;
(2)當(dāng)∠BE’D=20°時,求∠DEA的度數(shù);
(3)當(dāng)BD=1,EC=2,△BE’D又為直角三角形時,求∠BAC的度數(shù).
【答案】(1)見解析;(2)∠DEA=80°;(3)∠BAC=90°或120°
【解析】
(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和角的和差即可得出結(jié)論;
(2)設(shè)∠DEA的度數(shù)為x.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE’=AE,∠BAE’=∠CAE,∠AE’B=∠AEC,進(jìn)而得出∠DAE’=∠DAE.用SAS證明△ADE’≌△ADE,得到∠DE’A=∠DEA=x°,進(jìn)而得到∠AEC=(x+20)°.根據(jù)平角的性質(zhì)得到x的值,即可得出結(jié)論;
(3)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及一個三角形中大邊對大角得到∠BE’D不可能是直角.然后分兩種情況討論:①若∠E’BD是直角;②若∠E’DB是直角.
(1)∵將△AEC旋轉(zhuǎn)得到△AE’B,
∴∠E’AB=∠EAC,
∴∠E’AD=∠EAC+∠BAD.
又∵2∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE’=∠DAE;
(2)設(shè)∠DEA的度數(shù)為x.
∵△AEC旋轉(zhuǎn)得到△AE’B,
∴AE’=AE,∠BAE’=∠CAE,∠AE’B=∠AEC.
∵2∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE’=∠DAE.
又∵AD=AD,
∴△ADE’≌△ADE,
∴∠DE’A=∠DEA=x°.
又∵∠AE’B=∠AEC,∠BE’D=20°,
∴∠AEC=(x+20)°.
又∵∠AEC+∠AED=180°,
∴x+(x+20)=180,
∴x=∠DEA=∠DE’A=80°;
(3)∵△AEC旋轉(zhuǎn)得到△AE’B,
∴BE’=EC.
又∵BD=1,BE’=2,
∴∠BE’D不可能是直角.
①若∠E’BD是直角.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C.
∵△AEC旋轉(zhuǎn)得到△AE’B,
∴∠ABE’=∠C.
∵∠E’BD是直角,
∴∠ABC=∠ABE’=45°,
∴∠BAC=90°.
②當(dāng)∠E’DB是直角時,設(shè)AB與DE’相交于P,過P作PF垂直BE’于F.
∵∠ABC=∠ABE’,
∴PD=PF.
在Rt△BDP和Rt△BFP中,
∵BP=BP,PD=PF,
∴Rt△BDP≌Rt△BFP,
∴BD=BF.
又∵BD=1,BE’=2,
∴BF=FE’=1.
又∵PF垂直BE’于F,
∴PE’=BP,
∴∠PE’B=∠PBF.
又∵∠ABC=∠ABE’,∠E’DB是直角,
∴∠ABC=∠E’BA=∠PE’B=30°,
∴∠BAC=120°.
綜上所述:∠BAC=90°或120°.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABO中,∠OBA=90°,AB=OB,點C在邊AB上,且C(6,4),點D為OB的中點,點P為邊OA上的動點,當(dāng)∠APC=∠DPO時,點P的坐標(biāo)為 ____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某小學(xué)學(xué)生較多,為了便于學(xué)生盡快就餐,師生約定:早餐一人一份,一份兩樣,一樣一個,食堂師傅在窗口隨機(jī)發(fā)放(發(fā)放的食品價格一樣),食堂在某天早餐提供了豬肉包、面包、雞蛋、油餅四樣食品.
(1)按約定,“小李同學(xué)在該天早餐得到兩個油餅”是 事件;(可能,必然,不可能)
(2)請用列表或樹狀圖的方法,求出小張同學(xué)該天早餐剛好得到豬肉包和油餅的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一根水平放置的圓柱形輸水管道的橫截面如圖所示,其中有水部分水面寬米,最深處水深米,則此輸水管道的直徑等于( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點B,F,C,E在同一條直線上,點A,D在直線BE的兩側(cè),AB∥DE,BF=CE,添加一個適當(dāng)?shù)臈l件后,仍不能使得△ABC≌△DEF( )
A.AC=DFB.AC∥DFC.∠A=∠DD.AB=DE
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在第一個△A1BC中,∠B=30°,A1B=CB,在邊A1B上任取一D,延長CA2到A2,使A1A2=A1D,得到第2個△A1A2D,在邊A2B上任取一點E,延長A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第三個△A2A3E,…按此做法繼續(xù)下去,第n個等腰三角形的底角的度數(shù)是_____度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題背景
如圖1,在正方形ABCD的內(nèi)部,作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH,根據(jù)三角形全等的條件,易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH,從而得到四邊形EFGH是正方形。
類比研究
如圖2,在正△ABC的內(nèi)部,作∠BAD=∠CBE=∠ACF,AD,BE,CF兩兩相交于D,E,F(xiàn)三點(D,E,F(xiàn)三點不重合)。
(1)△ABD,△BCE,△CAF是否全等?如果是,請選擇其中一對進(jìn)行證明;
(2)△DEF是否為正三角形?請說明理由;
(3)進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn),△ABD的三邊存在一定的等量關(guān)系,設(shè),,,請?zhí)剿?/span>,,滿足的等量關(guān)系。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面是小明同學(xué)設(shè)計的“作一個角等于已知角”的尺規(guī)作圖過程.
已知:∠O,
求作:一個角,使它等于∠O.
作法:如圖:
①在∠O的兩邊上分別任取一點A,B;
②以點A為圓心,OA為半徑畫弧;以點B為
圓心,OB為半徑畫弧;兩弧交于點C;
③連結(jié)AC,BC ,所以∠C即為所求作的角.
請根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程,
(1)使用直尺和圓規(guī),補全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下列證明.
證明:連結(jié)AB,
∵OA=AC,OB= , ,
∴≌( )(填推理依據(jù)).
∴∠C=∠O.
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