【題目】蘇科版九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)課本91頁有這樣一道習(xí)題:
(1)復(fù)習(xí)時(shí),小明與小亮、數(shù)學(xué)老師交流了自己的兩個(gè)見解,并得到了老師的認(rèn)可:
①可以假定正方形的邊長AB=4a,則AE=DE=2a,DF=a,利用“兩邊分別成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”可以證明△ABE∽△DEF;請(qǐng)結(jié)合提示寫出證明過程.
②圖中的相似三角形共三對(duì),而且可以借助于△ABE與△DEF中的比例線段來證明△EBF與它們相似.證明過程如下:
(2)交流之后,小亮嘗試對(duì)問題進(jìn)行了變化,在老師的幫助下,提出了新的問題,請(qǐng)你解答:
已知:如圖,在矩形ABCD中,E為AD的中點(diǎn),EF⊥EC交AB于F,連結(jié)FC.
(AB>AE)
①求證:△AEF∽△ECF;
②設(shè)BC=2,AB=a,是否存在a值,使得△AEF與△BFC相似.若存在,請(qǐng)求出a的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)①見解析;②當(dāng)a=時(shí),△AEF與△BFC相似
【解析】(1)按提示,列出條件,便得到相似三角形;
(2)由∠AEF=∠DCE,∠A=∠D=90°,可證△AEF∽△DEC,得,再由AE=ED,得,證得△AEF∽△EFC.
②由題意得:AE=DE=1,由△AEF∽△DCE得:AF=,故BF=a-.分兩種情況:若△AEF∽△BFC則;若△AEF∽△BCF,則.分別求解可得.
(1)①證明:假定正方形的邊長AB=4a,則AE=DE=2a,DF=a,
在正方形ABCD中,∠A=∠D=90°.
=2,∠A=∠D=90°.
∴△ABE∽△DEF.
(2)①證明:∵∠D=90°,∴∠D EC+∠DCE=90°
∵EF⊥EC,∴∠D EC+∠AEF=90°
∴∠AEF=∠DCE,又因?yàn)椤?/span>A=∠D=90°
∴△AEF∽△DEC
∴,∵AE=ED,
∴,即,∵∠A=∠BEF=90°
∴△AEF∽△EFC.
②由題意得:AE=DE=1,由△AEF∽△DCE得:AF=,故BF=a-.
若△AEF∽△BFC
則,此時(shí)a無解;
若△AEF∽△BCF
則 ,此時(shí)a=.
所以,當(dāng)a=時(shí),△AEF與△BFC相似.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,甲、乙兩動(dòng)點(diǎn)分別從正方形的頂點(diǎn)同時(shí)沿正方形的邊開始移動(dòng),甲按順時(shí)針方向環(huán)行,乙按逆時(shí)針方向環(huán)行,若乙的速度是甲的3倍,那么它們第1次相遇在邊上.
(1)它們第2次相遇在邊__________上;
(2)它們第2019次相遇在邊__________上.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正方形按如圖所示的方式放置,點(diǎn).和. 分別在直線和x軸上,已知點(diǎn),則Bn的坐標(biāo)是____________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校260名學(xué)生參加植樹活動(dòng),要求每人植4~7棵,活動(dòng)結(jié)束后隨機(jī)抽查了若干名學(xué)生每人的植樹量,并分為四種類型, A:4棵;B:5棵;C:6棵;D:7棵,將各類的人數(shù)繪制成扇形圖(如圖1)和條形圖(如圖2),請(qǐng)回答下列問題:
(1)在這次調(diào)查中D類型有多少名學(xué)生?
(2)寫出被調(diào)查學(xué)生每人植樹量的眾數(shù)、中位數(shù);
(3)求被調(diào)查學(xué)生每人植樹量的平均數(shù),并估計(jì)這260名學(xué)生共植樹多少棵?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商店經(jīng)銷甲、乙兩種商品,現(xiàn)有如下信息:
信息1:甲商品的零售單價(jià)比乙商品的零售單價(jià)少1元;
信息2:按零售單價(jià)購買甲商品3件和乙商品2件,共付了12元.
請(qǐng)根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)分別求甲、乙兩種商品的零售單價(jià);
(2)該商店平均每天賣出甲、乙兩種商品各500件,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),兩種商品零售單價(jià)每降0.1元,甲種商品每天可多銷售30件,乙種商品每天可多銷售20件,商店決定把兩種商品的零售單價(jià)均下降m(0<m<1)元.在不考慮其他因素的條件下,當(dāng)m為多少時(shí),商店每天銷售甲、乙兩種商品的銷售額之和為2500元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法:①垂直于同一直線的兩條直線互相平行;②兩個(gè)無理數(shù)的和是無理數(shù);③點(diǎn)一定不在第四象限;④平方根等于本身的數(shù)是或;⑤若點(diǎn)的坐標(biāo)滿足,則點(diǎn)落在原點(diǎn)上;⑥如果兩個(gè)角的角平分線互為反向延長線,則這兩個(gè)角為對(duì)頂角.正確個(gè)數(shù)是( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列信息材料
信息1:因?yàn)闊o理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),因此無理數(shù)的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來,比如、、等,而常用的“……”或者“”的表示方法都不夠百分百準(zhǔn)確;
信息2:的小數(shù)部分是,可以看成得來的:
信息3:任何一個(gè)無理數(shù),都可以夾在兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間,如,是因?yàn)?/span>:
根據(jù)上述信息,回答下列問題:
(1)若,則的小數(shù)部分可以表示為_______;
(2)也是夾在兩個(gè)整數(shù)之間的,可以表示為則_______;
(3)若,其中是整數(shù),且,請(qǐng)求的相反數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】規(guī)定兩數(shù)a、b之間的一種運(yùn)算,記作(a,b):如果,那么(a,b)=c.
例如:因?yàn)?/span>,所以(2,8)=3.
(1)根據(jù)上述規(guī)定,填空:
(5,125)= ,(-2,4)= ,(-2,-8)= ;
(2)小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象:,他給出了如下的證明:
設(shè),則,即
∴,即,
∴.
請(qǐng)你嘗試運(yùn)用上述這種方法說明下面這個(gè)等式成立的理由.
(4,5)+(4,6)=(4,30)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,線段AB,AC是兩條繞點(diǎn)A可以自由旋轉(zhuǎn)的線段(但點(diǎn)A,B,C始終不在同一條直線上),已知AB=5,AC=7,點(diǎn)D,E分別是AB,BC的中點(diǎn),則四邊形BEFD面積的最大值是______.
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