Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l₁：y=$\frac{1}{2}$x+b與雙曲線y=$\frac{6}{x}$的一個(gè)交點(diǎn)為A（m，1）．
（1）求m和b的值；
（2）過，B（1，3）的直線交l₁于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E．若BD=2BE，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線解析式中求出m的值，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線l₁中即可求出b的值；
（2）由（1）可知直線l₁的解析式，設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，c），直線BE的解析式為y=kx+c，聯(lián)立直線l₁和直線BE的解析式成方程組，解方程組求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)BD=2BE以及點(diǎn)B在直線BE的圖象上得出關(guān)于k、c的方程組，解方程組求出k、c的值，將其代入點(diǎn)D的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（m，1）在雙曲線y=$\frac{6}{x}$的圖象上，
∴1=$\frac{6}{m}$，解得：m=6，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，1）．
又∵點(diǎn)A（6，1）在直線l₁：y=$\frac{1}{2}$x+b的圖象上，
∴1=$\frac{1}{2}$×6+b，解得：b=-2．
（2）依照題意畫出圖象，如圖所示．

∵b=-2，
∴直線l₁：y=$\frac{1}{2}$x-2．
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，c），直線BE的解析式為y=kx+c，
聯(lián)立直線BE和l₁得：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+c}\\{y=\frac{1}{2}x-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2+c}{k-\frac{1}{2}}}\\{y=-\frac{c+4k}{2k-1}}\end{array}\right.$．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-$\frac{2+c}{k-\frac{1}{2}}$，-$\frac{c+4k}{2k-1}$）．
又∵BD=2BE，且點(diǎn)B（1，3）在直線y=kx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{|-\frac{2+c}{k-\frac{1}{2}}-1|=2×（1-0）}\\{3=k+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{11}{4}}\\{c=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{7}{4}}\\{c=\frac{19}{4}}\end{array}\right.$．
故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-$\frac{5}{2}$）或（3，-$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及解分式方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）結(jié)合已知得出方程組．本題屬于中檔題，難度不大，但較繁瑣，結(jié)合點(diǎn)在直線上以及線段間的數(shù)量關(guān)系得出方程組是關(guān)鍵．