Question

【題目】規(guī)定：有一角重合，且角的兩邊疊合在一起的兩個相似四邊形叫做“嵌套四邊形”，如圖，四邊形ABCD和AMPN就是嵌套四邊形．

（1）問題聯想

如圖①，嵌套四邊形ABCD，AMPN都是正方形，現把正方形AMPN以A為中心順時針旋轉150°得到正方形AM'P'N'，連接BM'，DN'交于點O，則BM'與DN'的數量關系為_____，位置關系為_____；

（2）類比探究

如圖②，將（1）中的正方形換成菱形，∠BAD=∠MAN=60，其他條件不變，則（1）中的結論還成立嗎? 若成立，請說明理由；若不成立，請給出正確的結論，并說明理由；

（3）拓展延伸

如圖3，將（1）中的嵌套四邊形ABCD和AMPN換成是長和寬之比為2:1的矩形，旋轉角換成α（90°＜α＜180°），其他條件不變，請直接寫出BM'與DN'的數量關系和位置關系．

Answer 1

【答案】（1），；（2）成立，不成立，與相交，且夾角為.理由見解析；（3），.

【解析】

（1）根據SAS證明△ABM’≌△AND’，進而得到，∠ABM’=∠ADN’，再利用三角形內角和可推出∠BOD=90°，即；

（2）根據旋轉和菱形的性質證明，再推出，故可求解；

（3）根據旋轉和矩形的性質證明，得到，再推出即可求解．

（1）如圖設，交于點H，，

∵四邊形ABCD，AMPN都是正方形，把正方形AMPN以A為中心順時針旋轉150°得到正方形AM'P'N'，

∴AB=AD,AM’=AD’,

∴△ABM’≌△AND’，

∴，∠ABM’=∠ADN’，

∵∠ADN’+∠DHA+∠DAH=180°，∠ABM’+∠BHO+∠BOD=180°，

又∠DHA=∠BHO

∴，即

故答案為：，；

（2）成立，不成立，與相交，且夾角為.

理由：設，交于點，

由旋轉的性質可得.

∵四邊形，都是菱形，

∴，，

∴，

∴，.

又∵，

∴；

故與相交，且夾角為；

（3），，理由如下：

設，交于點，

由旋轉的性質可得.

∵四邊形ABCD和AMPN是長和寬之比為2:1的矩形

∴，，

∴

∴，

∴，.

又∵，

∴

∴，．