Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2﹣x+c與x軸相交于點A（﹣2，0）、B（4，0），與y軸相交于點C，連接AC，BC，以線段BC為直徑作⊙M，過點C作直線CE∥AB，與拋物線和⊙M分別交于點D，E，點P在BC下方的拋物線上運動．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當△PDE是以DE為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標；

（3）當四邊形ACPB的面積最大時，求點P的坐標并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）P（3，﹣）；（3）點P（2，﹣3），最大值為12

【解析】

（1）用交點式設出拋物線的表達式，化為一般形式，根據系數之間的對應關系即可求解；

（2）根據（1）中的表達式求出點C（0，-3），函數對稱軸為：x=1，則點D（2，-3），點E（4，-3），當△PDE是以DE為底邊的等腰三角形時，點P在線段DE的中垂線上，據此即可求解；
（3）求出直線BC的表達式，設出P、H點的坐標，根據四邊形ACPB的面積＝S△ABC+S△BHP+S△CHP進行計算，化為頂點式即可求解．

（1）拋物線的表達式為：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），

即﹣2a＝﹣，解得：a＝，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣x﹣3；

（2）當x=0時，y=-3，故點C的坐標為（0，﹣3），

函數對稱軸為：x＝=1，

∵CE∥AB

∴點D（2，﹣3），點E（4，﹣3），

則DE的中垂線為：x＝＝3，

當x＝3時，y＝x2﹣x﹣3＝﹣，

故點P（3，﹣）；

（3）設直線BC的解析式為y=kx+b，

把B（4，0）C（0，﹣3）代入得：

解得：

∴直線BC的表達式為：y＝x﹣3，

故點P作y軸的平行線交BC于點H，

設點P（x，x2﹣x﹣3），則點H（x，x﹣3）；

四邊形ACPB的面積＝S△ABC+S△BHP+S△CHP＝3×6+HP×OB＝9+×4×（x﹣3﹣x2+x+3）＝﹣x2+3x+9= ，

∵﹣＜0，故四邊形ACPB的面積有最大值為12，此時，點P（2，﹣3）．