如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線C1:y=-x2+2x+3的頂點為A,與x軸交于兩點.
(1)求A.B.C三點的坐標(biāo).
(2)在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點D,使四邊形ABCD為平行四邊形,求過A、C、D的拋物線的表達(dá)式.
(3)拋物線C2與拋物線C1是否成中心對稱?若對稱,請直接寫出對稱中心;若不對稱,說明理由.
考點:二次函數(shù)綜合題,平行四邊形的性質(zhì),中心對稱
專題:綜合題,分類討論
分析:(1)令拋物線C1的解析式中的y=0可求出B、C兩點的坐標(biāo),然后把拋物線的解析式配方就可求出A的坐標(biāo);
(2)設(shè)過A、C、D的拋物線C2的表達(dá)式為y=ax2+bx+c,然后分別以AC、AB、BC為平行四邊形的對角線進(jìn)行討論,利用平行四邊形及菱形的性質(zhì)及即可求出D的坐標(biāo),然后運(yùn)用待定系數(shù)法就可解決問題;
(3)可根據(jù)兩拋物線的二次項系數(shù)是不是互為相反數(shù)來判定它們是否成中心對稱,若成中心對稱,它們的對稱中心就是兩個頂點連線段的中點,只需運(yùn)用中點坐標(biāo)公式就可求出對稱中心的坐標(biāo).
解答:解:(1)令y=0,則-x2+2x+3=0,
解得:x1=-1,x2=3,
∴C的坐標(biāo)為(-1,0),B的坐標(biāo)為(3,0).
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴頂點為A的坐標(biāo)為(1,4);

(2)設(shè)過A、C、D的拋物線C2的表達(dá)式為y=ax2+bx+c,
①當(dāng)AC為其中的一條對角線時,此時D1在第二象限,如圖1.
∵四邊形ABCD1為平行四邊形,
∴AD1=BC=3-(-1)=4,AD1∥BC,
∴D1的坐標(biāo)為(1-4,4)即(-3,4).
∵頂點為A的坐標(biāo)為(1,4),C的坐標(biāo)為(-1,0),
4=a+b+c
0=a-b+c
4=9a-3b+c

解得:
a=1
b=2
c=1
,
∴y=x2+2x+1;
②當(dāng)AB為其中的一條對角線時,此時D在第一象限,如圖1.
∵四邊形ACBD2為平行四邊形,
∴AD2=BC=4,AD2∥BC,
∴D2的坐標(biāo)為(1+4,4)即(5,4),
∵頂點為A的坐標(biāo)為(1,4),C的坐標(biāo)為(-1,0),
a+b+c=4
a-b+c=0
25a+5b+c=4

解得:
a=-
1
3
b=2
c=
7
3
,
∴y=-
1
3
x2+2x+
7
3
;
③當(dāng)BC為其中的一條對角線時,此時D在第四象限,如圖1.
根據(jù)拋物線的軸對稱性可得AC=AB,
∴平行四邊形ABD3C是菱形,
∴點D3與點A關(guān)于BC對稱,
∴D3的坐標(biāo)為(1,-4).
∵頂點為A的坐標(biāo)為(1,4),C的坐標(biāo)為(-1,0),
a+b+c=4
a-b+c=0
a+b+c=-4

該方程組無解.
綜上所述:過A、C、D的拋物線C2的表達(dá)式為y=x2+2x+1或y=-
1
3
x2+2x+
7
3
;

(3)①若拋物線C2為y=x2+2x+1,如圖2.
∵-1與1互為相反數(shù),
∴拋物線C1與拋物線C2形狀相同,開口方向相反,
∴它們成中心對稱,對稱中心為兩拋物線頂點連線段AC的中點E.
∵點A(-1,0),點C(1,4),
∴根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得:
點E的坐標(biāo)為(
-1+1
2
,
0+4
2
)即(0,2);
②若拋物線C2為y=-
1
3
x2+2x+
7
3
,
∵-
1
3
與-1不是互為相反數(shù),
∴它們不可能成中心對稱.
綜上所述:拋物線C1:y=-x2+2x+3與拋物線C2:y=x2+2x+1關(guān)于點(0,2)成中心對稱.
點評:本題主要考查了用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、拋物線上點的坐標(biāo)特征、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、中心對稱、中點坐標(biāo)公式等知識,運(yùn)用分類討論是解決第(2)小題的關(guān)鍵.
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1
3
x+
1
2
y的值.

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A、
1
4
a
B、
1
3
a
C、
1
2
a
D、a

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