Question

已知關(guān)于x的方程x²-kx+k-1=0．
（1）求證：當(dāng)k＞2時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若二次函數(shù)y=x²-kx+k-1（k＞2）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且tan∠OAC=4，求該二次函數(shù)的解析式；
（3）已知點(diǎn)P（m，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作垂直于x軸的直線(xiàn)交（2）中的二次函數(shù)圖象于點(diǎn)M，交一次函數(shù)y=px+q的圖象于點(diǎn)N．若只有當(dāng)1＜m＜5時(shí)，點(diǎn)M位于點(diǎn)N的下方，求一次函數(shù)y=px+q的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）求出△=（-k）²-4×1×（k-1）=（k-2）²，根據(jù)k＞2，可得△恒大于0，可判斷方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）令y=0，求出A、B的坐標(biāo)，然后求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)tan∠OAC=4，將OC和OA代入求出k的值，即可得出解析式；
（3）根據(jù)題意結(jié)合圖形求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將交點(diǎn)坐標(biāo)代入y=px+q，求出p、q的值，繼而可得出一次函數(shù)解析式．

解答：解：（1）證明：∵△=（-k）²-4×1×（k-1）=（k-2）²，
又∵k＞2，∴k-2＞0，
∴（k-2）²＞0，即△＞0，
∴當(dāng)k＞2時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）∵y=x²-kx+k-1（k＞2）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴令y=0，有x²-kx+k-1=0，
解得：x=1，或x=k-1，
∵k＞2，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴A（1，0），B（k-1，0）．
∵拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)C，
∴C（0，k-1），
在Rt△AOC中，tan∠OAC=

OC

OA

=

k-1

1

=4，
解得：k=5，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x²-5x+4；

（3）依題意并結(jié)合圖象可知，一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1和5，
則交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）和（5，4），
將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)解析式y(tǒng)=px+q中，
得

p+q=0 5p+q=4

，
解得：

p=1 q=-1

，
故一次函數(shù)的解析式為y=x-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及了利用根的判別式判斷根的情況，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，第三問(wèn)的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合確定交點(diǎn)的坐標(biāo)，難度較大．