Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，點(diǎn)E是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（E與A、D不重合），G、F、H分別是BE、BC、CE的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)BE=CE時(shí)，求證：AE=DE；
（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形EGFH是菱形？（直接寫出結(jié)論即可，不用說明理由）
（3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，線段EF與線段BC有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì),菱形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得出∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，根據(jù)BE=CE得出∠EBC=∠ECB，求出∠ABE=∠DCE，根據(jù)ASA推出△ABE≌△DCE即可；
（2）根據(jù)全等三角形的判定推出△ABE≌△DCE，求出BE=CE，根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)得出FG=

1

2

CE，F(xiàn)H=

1

2

BE，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)H∥BE，得出四邊形EGFH是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定得出即可；
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠BEC=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出即可．

解答：（1）證明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，
∵BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠ABC-∠EBC=∠DCB-∠ECB，
∴∠ABE=∠DCE，
在△ABE和△DCE中

∠A=∠D AB=DC ∠ABE=∠DCE

∴△ABE≌△DCE，
∴AE=DE；

（2）解：點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AD的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EGFH是菱形，
理由是：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠A=∠D，
∵E為AD的中點(diǎn)，
∴AE=DE，
在△ABE和△DCE中

AE=DE ∠A=∠D AB=DC

∴△ABE≌△DCE，
∴BE=CE，
∵G、F、H分別是BE、BC、CE的中點(diǎn)，
∴FG=

1

2

CE，F(xiàn)H=

1

2

BE，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)H∥BE，
∴四邊形EGFH是平行四邊形，F(xiàn)G=FH，
∴四邊形EGFH是菱形，
即點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AD的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EGFH是菱形；

（3）EF=

1

2

BC，
證明：∵菱形EGFH是正方形，
∴∠BEC=90°，
∵F為BC的中點(diǎn)，
∴EF=

1

2

BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定，三角形的中位線性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度適中．