【題目】拋物線y=ax2+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),頂點(diǎn)為C,點(diǎn)P在拋物線上,且位于x軸下方.
(1)若P(1,﹣3)、B(4,0),
①求該拋物線的解析式;
②若D是拋物線上一點(diǎn),滿足∠DPO=∠POB,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)如圖2,在(1)中的拋物線解析式不變的條件下,已知直線PA、PB與y軸分別交于E、F兩點(diǎn),點(diǎn)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),OE+OF是否為定值?若是,試求出該定值;若不是,請說明理由.

【答案】
(1)

解:①將P(1,﹣3),B(4,0)代入y=ax2+c,得 ,解得

∴拋物線的解析式為y= x2 ;

②如圖1,

當(dāng)點(diǎn)D在OP左側(cè)時(shí),

由∠DPO=∠POB,得DP∥OB,

∴D與P關(guān)于y軸對稱,且P(1,﹣3),

∴D(﹣1,﹣3);

當(dāng)點(diǎn)D在OP右側(cè)時(shí),延長PD交x軸于點(diǎn)G.

作PH⊥OB于點(diǎn)H,則OH=1,PH=3.

∵∠DPO=∠POB,

∴PG=OG.

設(shè)OG=x,則PG=x,HG=x﹣1.

在Rt△PGH中,由x2=(x﹣1)2+32,得x=5.

∴點(diǎn)G(5,0).

∴直線PG的解析式為y= x﹣ ,

解方程組 ,.

∵P(1,﹣3),

∴D( ,﹣ ).

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣1,﹣3)或( ,﹣ ).


(2)

解:點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),OE+OF是定值,定值為2,理由如下:

如圖2,作PQ⊥AB于Q點(diǎn),

設(shè)P(m,am2+c),A(﹣t,0),B(t,0),則at2+c=0,c=﹣at2

∵PQ∥OF,

= ,

∴OF= =﹣ = ═amt+at2

同理OE=﹣amt+at2

∴OE+OF=2at2=﹣2c=2OC=


【解析】(1)①根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,可得答案;②根據(jù)平行線的判定,可得PD∥OB,根據(jù)函數(shù)值相等兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱,可得D點(diǎn)坐標(biāo);(2)作PQ⊥AB于Q點(diǎn),設(shè)P(m,am2+c),A(﹣t,0),B(t,0),可表示出OE、OF的長,可得答案.

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組別

成績x

頻數(shù)(人數(shù))

1

25≤x<30

4

2

30≤x<35

6

3

35≤x<40

14

4

40≤x<45

a

5

45≤x<50

10

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(1)求表中a的值;

(2)請把頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整;

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